Title: Maths sup
Tags: Algèbre Analyse Matrices Probabilité Euclidiens Suites Complexes Polynomes EspacesVectoriels Intégration Dénombrement Ensembles Dérivées Séries Logique Calcul Arithmétique Asymptotique Topologie Géométrie Constantes DL

Q: [latex]S\'eries de Riemann[/latex]
A: [$$]\sum\frac{1}{n^\alpha}\text{ converge }\Leftrightarrow\alpha>1[/$$]

Q: [$$]f(x)\underset{a}{=}o(g(x))\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]f(x)\underset{a}{=}o(g(x))\Leftrightarrow\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0[/$$]

Q: [$$]f(x)\underset{a}{\sim}g(x)\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]f(x)\underset{a}{\sim}g(x)\Leftrightarrow\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1[/$$]

Q: [$$]f(x)\underset{a}{=}O(g(x))\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]f(x)\underset{a}{=}O(g(x))\Leftrightarrow\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\text{ born\'ee}[/$$]

Q: [latex]Formule de Taylor-Young[/latex]
A: [$$]f\in\mathcal{C}^n(I),a\in I\Rightarrow f(x)\underset{a}{=}\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o((x-a)^n)[/$$]

Q: [latex]Formule de Stirling[/latex]
A: [$$]n!\sim\left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}[/$$]

Q: [$$]\delta_{ij}=[/$$]
A: [$$]\delta_{ij}=
\left\{\begin{aligned}
1\text{ si }i=j\\
0\text{ si }i\not=j
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [$$](a_{ij})\in\mathcal{M}_{np}(\K),{}^t(a_{ij})=[/$$]
A: [$$]{}^t(a_{ij})=(a_{ji})\in\mathcal{M}_{pn}(\K)[/$$]

Q: [$$]A\mapsto{}^t\!A\in[/$$]
A: [$$]A\mapsto{}^t\!A\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{np}(\K),\mathcal{M}_{pn}(\K))[/$$]

Q: [$$]\mathcal{T}_n^+(\K)=[/$$]
A: [$$]\mathcal{T}_n^+(\K)=\vect\left(\left(E_{ij}\right)_{1\le i\le j\le n}\right)[/$$]

Q: [$$]\dim\left(\mathcal{T}_n^+(\K)\right)=[/$$]
A: [$$]\dim\left(\mathcal{T}_n^+(\K)\right)=\frac{n(n+1)}{2}[/$$]

Q: [$$](a_{ij})\in\mathcal{T}_n^+(\K)\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$](a_{ij})\in\mathcal{T}_n^+(\K)\Leftrightarrow\forall(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,\ i>j\Rightarrow a_{ij}=0[/$$]

Q: [$$]\mathcal{D}_n(\K)=[/$$]
A: [$$]\mathcal{D}_n(\K)=\vect\left(\left(E_{ii}\right)_{1\le i\le n}\right)[/$$]

Q: [$$]\dim\left(\mathcal{D}_n(\K)\right)=[/$$]
A: [$$]\dim\left(\mathcal{D}_n(\K)\right)=n[/$$]

Q: [$$](a_{ij})\in\mathcal{D}_n(\K)\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$](a_{ij})\in\mathcal{D}_n(\K)\Leftrightarrow\forall(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,\ i\not=j\Rightarrow a_{ij}=0[/$$]

Q: [$$]\mathcal{S}_n(\K)=[/$$]
A: [$$]\mathcal{S}_n(\K)=\vect\left(\left(E_{ij}+E_{ji}\right)_{1\le i\le j\le n}\right)[/$$]

Q: [$$]\dim\left(\mathcal{S}_n(\K)\right)=[/$$]
A: [$$]\dim\left(\mathcal{S}_n(\K)\right)=\frac{n(n+1)}{2}[/$$]

Q: [$$](a_{ij})\in\mathcal{S}_n(\K)\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$](a_{ij})\in\mathcal{S}_n(\K)\Leftrightarrow\forall(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,\ a_{ij}=a_{ji}[/$$]

Q: [$$]A\in\mathcal{S}_n(\K)\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]A\in\mathcal{S}_n(\K)\Leftrightarrow A={}^t\!A[/$$]

Q: [$$]\mathcal{A}_n(\K)=[/$$]
A: [$$]\mathcal{A}_n(\K)=\vect\left(\left(E_{ij}-E_{ji}\right)_{1\le i<j\le n}\right)[/$$]

Q: [$$]\dim\left(\mathcal{A}_n(\K)\right)=[/$$]
A: [$$]\dim\left(\mathcal{A}_n(\K)\right)=\frac{n(n-1)}{2}[/$$]

Q: [$$](a_{ij})\in\mathcal{A}_n(\K)\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$](a_{ij})\in\mathcal{A}_n(\K)\Leftrightarrow\forall(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,\ a_{ij}=-a_{ji}[/$$]

Q: [$$]A\in\mathcal{A}_n(\K)\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]A\in\mathcal{A}_n(\K)\Leftrightarrow A=-{}^t\!A[/$$]

Q: [$$]\mathcal{S}_n(\K)\phantom{\oplus}\mathcal{A}_n(\K)[/$$]
A: [$$]\mathcal{S}_n(\K)\oplus\mathcal{A}_n(\K)=\mathcal{M}_n(\K)[/$$]

Q: [$$]\left({}^t\!A\right)^{-1}=[/$$]
A: [$$]\left({}^t\!A\right)^{-1}={}^t\!\left(A^{-1}\right)[/$$]

Q: [$$](AB)^{-1}=[/$$]
A: [$$](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/$$]

Q: [$$]J_n^k=[/$$]
A: [$$]J_n^k=n^{k-1}J_n[/$$]

Q: [$$]\dim(\mathcal{L}(E,F))=[/$$]
A: [$$]\dim(\mathcal{L}(E,F))=\dim(E)\dim(F)[/$$]

Q: [$$]M_{AC}(g\circ f)=[/$$]
A: [$$]M_{AC}(g\circ f)=M_{BC}(g)M_{AB}(f)[/$$]

Q: [$$]M_{B'C'}(f)=[/$$]
A: [$$]M_{B'C'}(f)=P_{C'\to C}M_{BC}(f)P_{B\to B'}[/$$]

Q: [$$]M_B(x)=[/$$]
A: [$$]M_B(x)=P_{B\to B'}M_{B'}(x)[/$$]

Q: [$$]\tr(A)=[/$$]
A: [$$]\tr(A)=\sum_{k=1}^na_{kk}[/$$]

Q: [$$]\tr\in[/$$]
A: [$$]\tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)[/$$]

Q: [$$]\tr(AB)=[/$$]
A: [$$]\tr(AB)=\tr(BA)[/$$]

Q: [$$]A\text{ semblable \`a }B\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\exists P\in\mathrm{GL}_n(\K),\ A=PBP^{-1}[/$$]

Q: [latex]Classes de similitude[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
\Cl(0_n)=\{0_n\}\\
\Cl(I_n)=\{I_n\}
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$]\rg({}^t\!A)=[/$$]
A: [$$]\rg({}^t\!A)=\rg(A)[/$$]

Q: [$$]E_{kl}=[/$$]
A: [$$]E_{kl}=(\delta_{ik}\delta_{jl})[/$$]

Q: [latex]Positivit\'e (int\'egrales)[/latex]
A: [$$]\forall f\in\mathcal{CM}([a,b],\R_+),\int_{a}^{b}f\ge0[/$$]

Q: [latex]Croissance (int\'egrales)[/latex]
A: [$$]\begin{array}{c}
\forall(f,g)\in\mathcal{CM}([a,b],\R)^2,\\
\displaystyle f\le g\Rightarrow\int_{a}^{b}f\le\int_{a}^{b}g
\end{array}[/$$]

Q: [latex]In\'egalit\'e triangulaire (int\'egrales)[/latex]
A: [$$]\begin{array}{c}\forall f\in\mathcal{CM}([a,b],\K),\\\displaystyle\left|\int_{a}^{b}f\right|\le\int_{a}^{b}|f|\end{array}[/$$]

Q: [latex]In\'egalit\'e de la moyenne (int\'egrales)[/latex]
A: [$$]\begin{array}{c}\forall(f,g)\in\mathcal{CM}([a,b],\R)^2,\\\displaystyle\left|\int_{a}^{b}fg\right|\le\sup_{[a,b]}|f|\int_{a}^{b}|g|\end{array}[/$$]

Q: [latex]Positivit\'e stricte (int\'egrales)[/latex]
A: [$$]\forall f\in\mathcal{C}([a,b],\R_+),\int_{a}^{b}f=0\Rightarrow f=0[/$$]

Q: [latex]Somme de Riemann d'ordre n \`a droite associ\'ee \`a $f$[/latex]
A: [$$]\begin{array}{c}\forall f\in\mathcal{C}([a,b],\K),\\\displaystyle\lim\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)=\int_{a}^{b}f\end{array}[/$$]

Q: [latex]Somme de Riemann d'ordre n \`a gauche associ\'ee \`a $f$[/latex]
A: [$$]\begin{array}{c}\forall f\in\mathcal{C}([a,b],\K),\\\displaystyle\lim\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)=\int_{a}^{b}f\end{array}[/$$]

Q: [latex]Somme de Riemann avec $a=0$ et $b=1$[/latex]
A: [$$]\begin{array}{c}\forall f\in\mathcal{C}([a,b],\K),\\\displaystyle\int_{0}^{1}f=\lim\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\end{array}[/$$]

Q: [latex]Formule de Taylor reste int\'egral[/latex]
A: [$$]\begin{array}{c}\forall f\in\mathcal{C}^{n+1}(I,\K),\forall a\in I,\forall x\in I,\\\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\int_{a}^{x}\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt\end{array}[/$$]

Q: [latex]In\'egalit\'e de Taylor-Lagrange[/latex]
A: [$$]\begin{array}{c}\forall f\in\mathcal{C}^{n+1}(I,\K),\forall a\in I,\forall x\in I,\\\displaystyle\int_{a}^{x}\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt\le\sup_{t\in[a,x]\text{ ou }[x,a]}\left|f^{(n+1)}(t)\right|\frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\end{array}[/$$]

Q: [$$]z\in\R\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\begin{aligned}
&\Leftrightarrow\Im m(z)=0\\
&\Leftrightarrow z=\overline{z}
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$]z\in i\R\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\begin{aligned}
&\Leftrightarrow\Re e(z)=0\\
&\Leftrightarrow z=-\overline{z}
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$]\forall z\in\C^*,\frac{1}{z}=[/$$]
A: [$$]\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{{|z|}^2}[/$$]

Q: [$$]\forall(a,b)\in\R^2,\overline{a+ib}=[/$$]
A: [$$]\overline{a+ib}=a-ib[/$$]

Q: [$$]\forall z\in\C,\overline{(\overline{z})}=[/$$]
A: [$$]\overline{(\overline{z})}=z[/$$]

Q: [$$]\forall (z,z')\in\C^2,\overline{z+z'}=[/$$]
A: [$$]\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}[/$$]

Q: [$$]\forall (z,z')\in\C^2,\overline{zz'}=[/$$]
A: [$$]\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}[/$$]

Q: [$$]\forall (z,z')\in\C^2,\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)}=[/$$]
A: [$$]\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z'}}[/$$]

Q: [$$]\forall z\in\C,\forall n\in\N,\overline{z^n}=[/$$]
A: [$$]\overline{z^n}=\overline{z}^n[/$$]

Q: [$$]\forall z\in\C,\Re e(z)=[/$$]
A: [$$]\Re e(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}[/$$]

Q: [$$]\forall z\in\C,\Im m(z)=[/$$]
A: [$$]\Im m(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}[/$$]

Q: [$$]\forall(a,b)\in\R^2,|a+ib|=[/$$]
A: [$$]|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}[/$$]

Q: [$$]\forall z\in\C,|\overline{z}|=[/$$]
A: [$$]|\overline{z}|=|z|[/$$]

Q: [$$]\forall (z,z')\in\C^2,|zz'|=[/$$]
A: [$$]|zz'|=|z||z'|[/$$]

Q: [$$]\forall (z,z')\in\C^2,\left|\frac{z}{z'}\right|=[/$$]
A: [$$]\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}[/$$]

Q: [$$]\forall z\in\C,\forall n\in\N,|z^n|=[/$$]
A: [$$]|z^n|=|z|^n[/$$]

Q: [$$]\forall z\in\C,z\overline{z}=[/$$]
A: [$$]z\overline{z}=|z|^2[/$$]

Q: [$$]\forall (z,z')\in(\C^*)^2,\arg(zz')=[/$$]
A: [$$]\arg(zz')=\arg z+\arg z'[/$$]

Q: [$$]\forall (z,z')\in(\C^*)^2,\arg\left(\frac{z}{z'}\right)=[/$$]
A: [$$]\arg\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg z-\arg z'[/$$]

Q: [$$]\forall z\in\C^*,\forall n\in\N,\arg z^n=[/$$]
A: [$$]\arg z^n=n\arg z[/$$]

Q: [$$]z\in\R^*\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]z\in\R^*\Leftrightarrow\arg z\equiv0[\pi][/$$]

Q: [$$]z\in i\R^*\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]z\in i\R^*\Leftrightarrow\arg z\equiv\frac{\pi}{2}[\pi][/$$]

Q: [$$]\forall(a,b)\in\R^2,e^{a+ib}=[/$$]
A: [$$]e^{a+ib}=e^a(\cos b+i\sin b)[/$$]

Q: [$$]\forall z\in\C,\overline{e^z}=[/$$]
A: [$$]\overline{e^z}=e^{\overline{z}}[/$$]

Q: [$$]\forall z\in\C,|e^z|=[/$$]
A: [$$]|e^z|=e^{\Re e(z)}[/$$]

Q: [latex]Bin\^ome de Newton[/latex]
A: [$$]\begin{array}{c}\forall(a,b)\in\C^2,\forall n\in\N,\\\displaystyle(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\end{array}[/$$]

Q: [latex]Racines n-i\`emes de l'unit\'e[/latex]
A: [$$]\omega_k=e^{i\tfrac{2k\pi}{n}},k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket[/$$]

Q: [latex]Racines n-i\`emes de $re^{i\theta}$[/latex]
A: [$$]z_k=r^{\tfrac{1}{n}}e^{i\tfrac{\theta}{n}+i\tfrac{2k\pi}{n}},k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket[/$$]

Q: [$$]\mathbb{U}=[/$$]
A: [$$]\mathbb{U}=\{z\in\C,|z|=1\}[/$$]

Q: [$$]\mathbb{U}_n=[/$$]
A: [$$]\mathbb{U}_n=\{z\in\C,z^n=1\}[/$$]

Q: [$$]\forall n\ge2,\sum_{z\in\mathbb{U}_n}z=[/$$]
A: [$$]\forall n\ge2,\sum_{z\in\mathbb{U}_n}z=0[/$$]

Q: [$$]\overline{(\overline{P})}\sim[/$$]
A: [$$]\overline{(\overline{P})}\sim P[/$$]

Q: [$$]P\Rightarrow Q\sim[/$$]
A: [$$]P\Rightarrow Q\sim\overline{P}\vee Q[/$$]

Q: [$$]\overline{P\Rightarrow Q}\sim[/$$]
A: [$$]\overline{P\Rightarrow Q}\sim P \wedge\overline{Q}[/$$]

Q: [$$]P\Leftrightarrow Q\sim[/$$]
A: [$$]P\Leftrightarrow Q\sim(P\Rightarrow Q)\wedge (Q\Rightarrow P)[/$$]

Q: [latex]Lois de De Morgan[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
\overline{P\wedge Q}\sim\overline{P}\vee\overline{Q}\\
\overline{P\vee Q}\sim\overline{P}\wedge\overline{Q}
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$]A\subset E\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]A\subset E\Leftrightarrow\forall x\in A,x\in E[/$$]

Q: [$$]\complement_E^A=[/$$]
A: [$$]\complement_E^A=\{x\in E,x\notin A\}[/$$]

Q: [$$]A\backslash B=[/$$]
A: [$$]A\backslash B=\{x\in A,x\notin B\}=A\cap\overline{B}[/$$]

Q: [$$]A\cap\overline{B}=[/$$]
A: [$$]A\cap\overline{B}=\{x\in A,x\notin B\}=A\backslash B[/$$]

Q: [$$]\overline{(\overline{A})}=[/$$]
A: [$$]\overline{(\overline{A})}=A[/$$]

Q: [$$]\overline{A\cup B}=[/$$]
A: [$$]\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}[/$$]

Q: [$$]\overline{A\cap B}=[/$$]
A: [$$]\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}[/$$]

Q: [$$]A\subset B\Rightarrow[/$$]
A: [$$]A\subset B\Rightarrow\overline{B}\subset\overline{A}[/$$]

Q: [$$]E\times F=[/$$]
A: [$$]E\times F=\{(x,y),x\in E\text{ et }y\in F\}[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(E,F),\im(f)=[/$$]
A: [$$]\im(f)=\left\{f(x),x\in E\right\}[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(E,F),G(f)=[/$$]
A: [$$]G(f)=\left\{(x,f(x)),x\in E\right\}[/$$]

Q: [$$]f\in\mathcal{F}(E,F)\text{ injective}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\begin{aligned}
&\Leftrightarrow\forall(x,x')\in E^2,x\not=x'\Rightarrow f(x)\not=f(x')\\
&\Leftrightarrow\forall(x,x')\in E^2,f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(E,F),\forall A\in\mathcal{P}(E),f(A)=[/$$]
A: [$$]f(A)=\left\{f(x),x\in A\right\}[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(E,F),\forall (A,A')\in\mathcal{P}(E)^2,f(A\cup A')[/$$]
A: [$$]f(A\cup A')=f(A)\cup f(A')[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(E,F),\forall (A,A')\in\mathcal{P}(E)^2,f(A\cap A')[/$$]
A: [$$]f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(E,F),\forall B\in\mathcal{P}(F),f^{-1}(B)=[/$$]
A: [$$]f^{-1}(B)=\left\{x\in E,f(x)\in B\right\}[/$$]

Q: [$$](A_i)_{i\in I}\text{ partition de E}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}
&\forall i\in I,A_i\not=\varnothing\\
&\underset{i\in I}{\bigcup}A_i=E\\
&\forall(i,j)\in I^2,i\not=j\Rightarrow A_i\cap A_j=\varnothing
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [$$](u^\alpha)'=[/$$]
A: [$$](u^\alpha)'=u'\alpha u^{\alpha-1}[/$$]

Q: [$$](\sqrt{u})'=[/$$]
A: [$$](\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}[/$$]

Q: [$$](uv)'=[/$$]
A: [$$](uv)'=u'v+uv'[/$$]

Q: [$$]\left(\frac{1}{u}\right)'=[/$$]
A: [$$]\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2}[/$$]

Q: [$$]\left(\frac{u}{v}\right)'=[/$$]
A: [$$]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/$$]

Q: [$$](e^u)'=[/$$]
A: [$$](e^u)'=u'e^u[/$$]

Q: [$$](\ln u)'=[/$$]
A: [$$](\ln u)'=\frac{u'}{u}[/$$]

Q: [$$](\ch u)'=[/$$]
A: [$$](\ch u)'=u'\sh u[/$$]

Q: [$$](\sh u)'=[/$$]
A: [$$](\sh u)'=u'\ch u[/$$]

Q: [$$](\Th u)'=[/$$]
A: [$$](\Th u)'=\left\{\begin{aligned}
&u'\left(1-\Th^2 u\right)\\ &\frac{u'}{\ch^2 u}
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [$$](g\circ f)'=[/$$]
A: [$$](g\circ f)'=f'\times g'\circ f[/$$]

Q: [$$]\left(f^{-1}\right)'[/$$]
A: [$$]\left(f^{-1}\right)'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}[/$$]

Q: [$$]m>n\Rightarrow\sum_{k=m}^{n}a_k=[/$$]
A: [$$]m>n\Rightarrow\sum_{k=m}^{n}a_k=0[/$$]

Q: [$$]\sum_{k=0}^{n}(a_k+b_k)=[/$$]
A: [$$]\sum_{k=0}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=0}^{n}a_k+\sum_{k=0}^{n}b_k[/$$]

Q: [$$]\forall\lambda\in\K,\sum_{k=0}^{n}\lambda a_k=[/$$]
A: [$$]\sum_{k=0}^{n}\lambda a_k=\lambda\sum_{k=0}^{n}a_k[/$$]

Q: [$$]\forall k\in \llbracket0,n\rrbracket,\ a_k\le b_k\Rightarrow[/$$]
A: [$$]\forall k\in \llbracket0,n\rrbracket,\ a_k\le b_k\Rightarrow \sum_{k=0}^{n}a_k\le \sum_{k=0}^{n}b_k[/$$]

Q: [$$]\sum_{k=p}^{p+n}a_k=[/$$]
A: [$$]\sum_{k=p}^{p+n}a_k=\sum_{i=0}^{n}a_{i+p}[/$$]

Q: [$$]\sum_{k=0}^{n}(a_{k+1}-a_k)=[/$$]
A: [$$]\sum_{k=0}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_0[/$$]

Q: [$$]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}a_{ij}=[/$$]
A: [$$]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}a_{ij}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=j}^{n}a_{ij}[/$$]

Q: [$$]\forall(a,b)\in\C^2,a^n-b^n=[/$$]
A: [$$]a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}[/$$]

Q: [$$]\forall(a,b)\in\C^2,a^n+b^n=[/$$]
A: [$$]a^n+b^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-a)^kb^{n-1-k}[/$$]

Q: [$$]\sum_{k=0}^{n}k=[/$$]
A: [$$]\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}[/$$]

Q: [$$]\sum_{k=0}^{n}k^2=[/$$]
A: [$$]\sum_{k=0}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/$$]

Q: [$$]\sum_{k=0}^{n}k^3=[/$$]
A: [$$]\sum_{k=0}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}[/$$]

Q: [$$]m\ge n\Rightarrow \prod_{k=m}^{n}a_k=[/$$]
A: [$$]m\ge n\Rightarrow \prod_{k=m}^{n}a_k=1[/$$]

Q: [$$]\prod_{k=0}^{n}\frac{a_{k+1}}{a_k}=[/$$]
A: [$$]\prod_{k=0}^{n}\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{a_{n+1}}{a_0}[/$$]

Q: [$$]\forall\lambda\in\K,\prod_{k=1}^{n}\lambda a_k=[/$$]
A: [$$]\prod_{k=1}^{n}\lambda a_k=\lambda^n\prod_{k=1}^{n}a_k[/$$]

Q: [$$]\prod_{k=1}^{n}k=[/$$]
A: [$$]\prod_{k=1}^{n}k=n![/$$]

Q: [$$]\binom{n}{k}=[/$$]
A: [$$]\binom{n}{k}=\left\{\begin{aligned}
&\frac{n!}{k!(n-k)!} & &\text{si }0\le k\le n\\
&0 & &\text{sinon}
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [$$]\forall n\in\N,\forall k\in\Z,\binom{n}{n-k}=[/$$]
A: [$$]\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}[/$$]

Q: [latex]Formule de Pascal[/latex]
A: [$$]\forall n\in\N,\forall k\in\Z,\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}[/$$]

Q: [$$]\exists\epsilon\ge0,|x|\le\epsilon\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]|x|\le\epsilon\Leftrightarrow -\epsilon\le x\le\epsilon[/$$]

Q: [latex]In\'egalit\'e triangulaire g\'en\'eralis\'ee[/latex]
A: [$$]\forall(x,y)\in\R^2,||x|-|y||\le|x\pm y|\le|x|+|y|[/$$]

Q: [$$]\begin{aligned}
A\in\mathcal{P}(\R),\ f:A&\rightarrow\R\\
f\text{ croissante }&\Leftrightarrow
\end{aligned}[/$$]
A: [$$]\forall(x,y)\in A^2,x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)[/$$]

Q: [$$]\begin{aligned}
A\in\mathcal{P}(\R),\ f:A&\rightarrow\R\\
f\text{ d\'ecroissante }&\Leftrightarrow
\end{aligned}[/$$]
A: [$$]\forall(x,y)\in A^2,x<y\Rightarrow f(x)\ge f(y)[/$$]

Q: [$$]\begin{aligned}
A\in\mathcal{P}(\R),\ f:A\rightarrow \R&\\
f\text{ strictement croissante}&\Leftrightarrow\end{aligned}[/$$]
A: [$$]\forall(x,y)\in A^2,x<y\Rightarrow f(x)<f(y)[/$$]

Q: [$$]\begin{aligned}A\in\mathcal{P}(\R),\ f:A\rightarrow \R&\\
f\text{ strictement décroissante}&\Leftrightarrow\end{aligned}[/$$]
A: [$$]\forall(x,y)\in A^2,x<y\Rightarrow f(x)>f(y)[/$$]

Q: [$$]A\in\mathcal{P}(\R), A\text{ sym\'etrique par rapport \`a 0}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\forall x\in A,-x\in A[/$$]

Q: [$$]f:A\rightarrow\R\text{ paire}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\left\{\begin{aligned}
&A\text{ sym\'etrique par rapport \`a 0}\\
&\forall x\in A, f(-x)=f(x)
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [$$]f:A\rightarrow\R\text{ impaire}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\left\{\begin{aligned}
&A\text{ sym\'etrique par rapport \`a 0}\\
&\forall x\in A, f(-x)=-f(x)
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [$$]\begin{aligned}&A\in\mathcal{P}(\R),T\in\R^*,\\
&A\ T\text{-p\'eriodique}\Leftrightarrow\end{aligned}[/$$]
A: [$$]\forall x\in A,x+T\in A\text{ et }x-T\in A[/$$]

Q: [$$]f:A\rightarrow\R\ T\text{-p\'eriodique}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\left\{\begin{aligned}
&A\ T\text{-p\'eriodique}\\
&\forall x\in A,f(x+T)=f(x)
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [$$]f:A\to\R\text{ major\'ee}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\exists M\in\R,\forall x\in A,f(x)\le M[/$$]

Q: [$$]f:A\to\R\text{ born\'ee}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\exists k\in\R,\forall x\in A,|f(x)|\le k[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de la bijection[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
f\text{ continue et strictement }&\text{monotone sur }I\\
\Rightarrow f\text{ bijection de }I&\text{ dans }f(I)
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Axiome de la construction de $\R$[/latex]
A: [latex]Toute partie non vide de $\R$ major\'ee (minor\'ee)\\
admet une borne sup\'erieure (inf\'erieure).[/latex]

Q: [$$]j[/$$]
A: [$$]\begin{aligned}
j&=e^{i\tfrac{2\pi}{3}}\\ j^2&=\overline{j}=\frac{1}{j}
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$]\forall n\in\N,\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty[/$$]

Q: [$$]\forall n\in\N,\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0[/$$]

Q: [$$]\forall n\in\N,\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln^n(t)}{t}=[/$$]
A: [$$]\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln^n(t)}{t}=0[/$$]

Q: [$$]\forall n\in\N,\lim_{t\to0^+}t\ln^n(t)=[/$$]
A: [$$]\lim_{t\to0^+}t\ln^n(t)=0[/$$]

Q: [$$]\forall a\in\R_+^*,\forall x\in\R,a^x=[/$$]
A: [$$]a^x=e^{x\ln a}[/$$]

Q: [$$]\forall x\in\R,\ch x=[/$$]
A: [$$]\ch x=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)[/$$]

Q: [$$]\forall x\in\R,\sh x=[/$$]
A: [$$]\sh x=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)[/$$]

Q: [$$]\forall x\in\R,\ch^2x-\sh^2x=[/$$]
A: [$$]\ch^2x-\sh^2x=1[/$$]

Q: [$$]\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\dif x\text{ avec }\Delta<0[/$$]
A: [$$]\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\dif x=\frac{2}{\sqrt{-\Delta}}\arctan\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta}}\right)[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme d'int\'egration par parties[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&\forall(u,v)\in(\mathcal{C}^1([a,b]))^2,\\
\int_a^bu'(t)v(t)&\dif t=\left[u(t)v(t)\right]_a^b-\int_a^bu(t)v'(t)\dif t
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$]f\text{ paire}\Rightarrow\int_{-a}^{a}f(t)\dif t=[/$$]
A: [$$]\int_{-a}^{a}f(t)\dif t=2\int_{0}^{a}f(t)\dif t[/$$]

Q: [$$]f\text{ impaire}\Rightarrow\int_{-a}^{a}f(t)\dif t=[/$$]
A: [$$]\int_{-a}^{a}f(t)\dif t=0[/$$]

Q: [$$]f\ T\text{-p\'eriodique}\Rightarrow\int_{a}^{a+T}f(t)\dif t=[/$$]
A: [$$]\int_{a}^{a+T}f(t)\dif t=\int_{0}^{T}f(t)\dif t[/$$]

Q: [latex]Magma[/latex]
A: [latex]Ensemble muni d'une loi de composition interne : $E(*)$[/latex]

Q: [latex]\begin{center}
$E(*)$ magma et $F\subset E,$\\
$F$ stable par $*\Leftrightarrow$\end{center}[/latex]
A: [latex]
$F$ stable par $*\Leftrightarrow(F,*)$ magma[/latex]

Q: [latex]$*:E^2\to E$ associative[/latex]
A: [$$]\forall(x,y,z)\in E^3,(x*y)*z=x*(y*z)[/$$]

Q: [latex]$*:E^2\to E$ commutative[/latex]
A: [$$]\forall(x,y)\in E^2,x*y=y*x[/$$]

Q: [latex]$e$ \'element neutre de $*:E^2\to E$[/latex]
A: [$$]\forall x\in E,x*e=e*x=x[/$$]

Q: [latex]Monoide[/latex]
A: [latex]Magma associatif muni d'un \'element neutre[/latex]

Q: [latex]$x$ inversible $\Leftrightarrow$[/latex]
A: [latex]$x$ inversible $\Leftrightarrow\exists y\in E,x*y=y*x=e$[/latex]

Q: [$$]\forall(x,y)\in(E,*)^2,(x*y)^{-1}=[/$$]
A: [$$](x*y)^{-1}=y^{-1}*x^{-1}[/$$]

Q: [$$]\forall x\in(E,*),\forall n\in\N,(x^n)^{-1}=[/$$]
A: [$$](x^n)^{-1}=(x^{-1})^n[/$$]

Q: [$$]\forall x\in(E,*),\exists y\in(E,*),x*y=e\text{ et }y*x\not=e\Rightarrow[/$$]
A: [$$]x*y=e\text{ et }y*x\not=e\Rightarrow x\text{ inversible à droite}[/$$]

Q: [$$]\forall(x,y,z)\in(E,*)^3,\left\{\begin{aligned}
x*y=x*z\Rightarrow y=z\\
y*x=z*x\Rightarrow y=z\\
\end{aligned}\right.\Rightarrow[/$$]
A: [$$]\left\{\begin{aligned}
x*y=x*z\Rightarrow y=z\\
y*x=z*x\Rightarrow y=z\\
\end{aligned}\right.\Rightarrow x\text{ r\'egulier}[/$$]

Q: [$$]*\text{ distributive par rapport \`a }\Delta\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]*\text{ distributive par rapport \`a }\Delta\Leftrightarrow
\begin{aligned}
&\forall(x,y,z)\in(E,*)^3,\\
&\left\{\begin{aligned}
x*(y\Delta z)=(x*y)\Delta(x*z)\\
(y\Delta z)*x=(y*x)\Delta(z*x)
\end{aligned}\right.\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]$(G,*)$ groupe[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&\bullet(G,*)\text{ magma (}*\text{ loi de composition interne)}\\
&\bullet*\text{ associative}\\
&\bullet(G,*)\text{ poss\`ede un \'el\'ement neutre }e\\
&\bullet\forall x\in G,x^{-1}\in G
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]$(H,*)$ sous groupe de $(G,*)$[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&\bullet H\subset G\\
&\bullet e\in H\\
&\bullet\forall(x,y)\in H^2,x*y\in H\\
&\bullet\forall x\in H,x^{-1}\in H
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$](H_i)_{i\in I}\text{ sous groupes de }G\Rightarrow[/$$]
A: [$$]\Rightarrow H=\bigcap_{i\in I}H_i\text{ sous groupe de }G[/$$]

Q: [$$]f:(G,*)\to(G',\Delta)\text{morphisme de groupes}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\begin{aligned}
f:(G,*)\to(G',\Delta)\text{morphisme de groupes}\Leftrightarrow\\
\forall(x,y)\in G^2,f(x*y)=f(x)\Delta f(y)
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Isomorphisme[/latex]
A: [latex]Morphisme bijectif[/latex]

Q: [$$]f\text{ morphisme de groupes }\Rightarrow[/$$]
A: [$$]f\text{ morphisme de groupes }\Rightarrow f(e)=e'\text{ et }f(x^{-1})=f^{-1}(x)[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(E,F),\ker(f)=[/$$]
A: [$$]\ker(f)=\{x\in E,f(x)=0\}[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(E,F),\ker(f)=\{0\}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\ker(f)=\{0\}\Leftrightarrow f\text{ injective}[/$$]

Q: [latex]$(A,+,\times)$ anneau[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&\bullet(A,+)\text{ groupe commutatif}\\
&\bullet\times\text{ associative et poss\`ede un \'el\'ement neutre dans }A\\
&\bullet\times\text{ distributive par rapport \`a }+
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]$(B,+,\times)$ sous anneau de $(A,+,\times)$[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&\bullet B\subset A\\
&\bullet(B,+)\text{ sous groupe de }(A,+)\\
&\bullet1\in B\\
&\bullet\forall(x,y)\in B^2,x\times y\in B
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$](A,+,\times)\text{ anneau int\`egre }\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\begin{aligned}&(A,+,\times)\text{ anneau int\`egre }\Leftrightarrow\\
&\left\{\begin{aligned}
&A\not=\{0\}\\
&\times\text{ commutative}\\
&\forall(x,y)\in A^2,xy=0\Rightarrow x=0\text{ ou }y=0
\end{aligned}\right.\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Groupe multiplicatif de $(A,+,\times)$[/latex]
A: [$$]A^\times=\{x\in A,x^{-1}\in A\}[/$$]

Q: [$$]f:(A,+,\times)\to(A',\oplus,\otimes)\text{morphisme d'anneaux}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}
&\forall(x,y)\in A^2,f(x+y)=f(x)\oplus f(y)\\
&\forall(x,y)\in A^2,f(x\times y)=f(x)\otimes f(y)\\
&f(1_A)=1_{A'}\\
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [$$](K,+,\times)\text{ corps }\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$](K,+,\times)\text{ corps }\Leftrightarrow(K,+,\times)\text{ anneau commutatif o\`u }K^\times=K\backslash\{0\}[/$$]

Q: [latex]$(F,+,\times)$ sous corps de $(K,+,\times)$[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&\bullet F\subset K\\
&\bullet(F,+,\times)\text{ sous anneau de }(K,+,\times)\\
&\bullet\forall x\in F\backslash\{0\},x^{-1}\in F
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]$\mathcal{R}$ r\'eflexive[/latex]
A: [$$]\forall x\in E,x\mathcal{R}x[/$$]

Q: [latex]$\mathcal{R}$ sym\'etrique[/latex]
A: [$$]\forall(x,y)\in E^2,x\mathcal{R}y\Rightarrow y\mathcal{R}x[/$$]

Q: [latex]$\mathcal{R}$ transitive[/latex]
A: [$$]\forall(x,y,z)\in E^3,x\mathcal{R}y\text{ et }y\mathcal{R}z\Rightarrow x\mathcal{R}z[/$$]

Q: [latex]$\mathcal{R}$ antisym\'etrique[/latex]
A: [$$]\forall(x,y)\in E^2,x\mathcal{R}y\text{ et }y\mathcal{R}x\Rightarrow x=y[/$$]

Q: [$$]\mathcal{R}\text{ totale sur }E\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\mathcal{R}\text{ totale sur }E\Leftrightarrow\forall(x,y)\in E^2,x\mathcal{R}y\text{ ou }y\mathcal{R}x\text{ ($x$ et $y$ sont comparables)}[/$$]

Q: [latex]Relation d'\'equivalence[/latex]
A: [latex]Relation r\'eflexive, sym\'etrique et transitive[/latex]

Q: [latex]Classe d'\'equivalence de $x\in E$[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&\bullet Cl(x)=\{y\in E,x\sim y\}\\
&\bullet x\text{ repr\'esentant de sa classe}\\
&\bullet\text{les classes d'\'equivalence forment une partition de }E
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Relation d'ordre[/latex]
A: [latex]Relation r\'eflexive, antisym\'etrique et transitive[/latex]

Q: [$$]\sup(A)[/$$]
A: [latex]Le plus petit des majorants de $A$[/latex]

Q: [latex]Passage \`a la borne sup\'erieure[/latex]
A: [$$]\forall a\in A,a\le M\Rightarrow\sup(A)\le M[/$$]

Q: [latex]$\R$ est archim\'edien[/latex]
A: [$$]\forall a>0,\forall b\in\R,\exists N\in\N^*,Na\ge b[/$$]

Q: [$$]\lfloor x\rfloor[/$$]
A: [$$]x-1<\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1[/$$]

Q: [$$]I\subset\R\text{ convexe}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]I\subset\R\text{ convexe}\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}
&\forall(u,v)\in I^2,[u,v]\subset I\\
&I\text{ intervalle}
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [latex]P\'erim\`etre d'un cercle de rayon $r$[/latex]
A: [$$]2\pi r[/$$]

Q: [latex]Aire d'un disque de rayon $r$[/latex]
A: [$$]\pi r^2[/$$]

Q: [latex]Aire d'une sph\`ere de rayon $r$[/latex]
A: [$$]4\pi r^2[/$$]

Q: [latex]Volume d'une sph\`ere de rayon $r$[/latex]
A: [$$]\frac{4}{3}\pi r^3[/$$]

Q: [$$]\pi=[/$$]
A: [$$]\pi=3.1415926535[/$$]

Q: [$$]e=[/$$]
A: [$$]e=2.718281[/$$]

Q: [$$]2\times4\times6\times\cdots\times2n=[/$$]
A: [$$]2\times4\times6\times\cdots\times2n=2^nn![/$$]

Q: [$$]1\times3\times5\times\cdots\times(2n+1)=[/$$]
A: [$$]1\times3\times5\times\cdots\times(2n+1)=\frac{(2n+1)!}{2^nn!}[/$$]

Q: [$$]\lim\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=[/$$]
A: [$$]\lim\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x[/$$]

Q: [$$]\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=[/$$]
A: [$$]\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}[/$$]

Q: [$$]\forall A\in\mathcal{M}_2(\K),\chi_A=[/$$]
A: [$$]\chi_A=X^2-\tr(A)X+\det(A)[/$$]

Q: [$$]\forall A\in\mathcal{M}_3(\K),\chi_A=[/$$]
A: [$$]\chi_A=X^3-\tr(A)X^2+\tr(\comat(A))X-\det(A)[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ major\'ee}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow\exists M\in\R,\forall n\in\N,u_n\le M[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ minor\'ee}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow\exists m\in\R,\forall n\in\N,u_n\ge m[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ born\'ee}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow\exists k\in\R,\forall n\in\N,\abs{u_n}\le k[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ croissante}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow\forall n\in\N,u_{n+1}\ge u_n[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ d\'ecroissante}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow\forall n\in\N,u_{n+1}\le u_n[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ constante}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow\forall n\in\N,u_{n+1}=u_n[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ stationnaire}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow\exists N\in\N,\forall n\ge N,u_{n+1}=u_n[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ p\'eriodique}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow\exists p\in\N^*,\forall n\in\N,u_{n+p}=u_n[/$$]

Q: [$$]\forall l\in\R,\forall(u_n)\in\R^\N,\lim u_n=l\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\lim u_n=l\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists N\in\N,\forall n\ge N,\abs{u_n-l}\le\epsilon[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ convergente}\Rightarrow[/$$]
A: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ convergente}\Rightarrow(u_n)\text{ born\'ee}[/$$]

Q: [$$]\forall l\in\overline{\R}_+^*,\forall(u_n)\in\R^\N,\lim u_n=l\Rightarrow[/$$]
A: [$$]\lim u_n=l\Rightarrow\exists N\in\N,\forall n\ge N,u_n>0[/$$]

Q: [$$]\forall (l,l')\in\R^2,\forall((u_n),(v_n))\in\left(\R^\N\right)^2,\lim u_n=l,\lim v_n=l'\text{ et }\exists N\in\N,\forall n\ge N,u_n\le v_n\Rightarrow[/$$]
A: [$$]\lim u_n=l,\lim v_n=l'\text{ et }\exists N\in\N,\forall n\ge N,u_n\le v_n\Rightarrow l\le l'[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme d'encadrement (suites)[/latex]
A: [latex]Si :\begin{align*}
&\bullet\lim u_n=\lim w_n=\ell\in\R\\
&\bullet\exists N\in\N,\forall n\ge N,u_n\le v_n\le w_n
\end{align*}
alors :\begin{equation*}
\lim v_n=\ell
\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de comparaison (suites)[/latex]
A: [$$]\lim u_n=+\infty\text{ et }\exists N\in\N,\forall n\ge N,v_n\ge u_n\Rightarrow\lim v_n=+\infty[/$$]

Q: [$$]\phi\text{ extractrice}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\phi\text{ extractrice}\Leftrightarrow\phi\in\N^\N\text{ et }\forall n\in\N,\phi(n+1)>\phi(n)[/$$]

Q: [$$]\phi\text{ extractrice}\Rightarrow[/$$]
A: [$$]\phi\text{ extractrice}\Rightarrow\forall n\in\N,\phi(n)\ge n[/$$]

Q: [$$]\lim u_n=l\in\overline{\R}\Rightarrow\forall\phi\text{ extractrice}[/$$]
A: [$$]\lim u_n=l\in\overline{\R}\Rightarrow\forall\phi\text{ extractrice},\lim u_{\phi(n)}=l[/$$]

Q: [latex]Valeur d'adh\'erence d'une suite[/latex]
A: [latex]Limite d'une des suites extraites[/latex]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de recollement (suites)[/latex]
A: [latex]Si :\begin{align*}
&\bullet\lim u_{\phi(n)}=\lim u_{\psi(n)}=\ell\in\R\\
&\bullet\{\phi(n),n\in\N\}\cup\{\psi(n),n\in\N\}=\N
\end{align*}
alors :\begin{equation*}
\lim u_n=\ell
\end{equation*}[/latex]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ croissante et major\'ee}\Rightarrow[/$$]
A: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ croissante et major\'ee}\Rightarrow(u_n)\text{ converge}[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ d\'ecroissante et minor\'ee}\Rightarrow[/$$]
A: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ d\'ecroissante et minor\'ee}\Rightarrow(u_n)\text{ converge}[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ croissante et non major\'ee}\Rightarrow[/$$]
A: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ croissante et non major\'ee}\Rightarrow u_n\to+\infty[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ d\'ecroissante et non minor\'ee}\Rightarrow[/$$]
A: [$$](u_n)\in\R^\N\text{ d\'ecroissante et non minor\'ee}\Rightarrow u_n\to-\infty[/$$]

Q: [latex]$(u_n)$ et $(v_n)$ adjacentes $\Leftrightarrow$[/latex]
A: [$$]\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}
&(u_n)\text{ croissante}\\
&(v_n)\text{ d\'ecroissante}\\
&\lim(u_n-v_n)=0
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme des suites adjacentes[/latex]
A: [$$](u_n)\text{ et }(v_n)\text{ adjacentes }\Rightarrow\lim u_n=\lim v_n=l\in\R[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme des segments emboit\'es[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}&\left\{\begin{aligned}
&\forall(a,b)\in\R^2,a\le b,l([a,b])=b-a\\
&(S_n)\text{ suite de segments non vides tels que }\forall n\in\N,S_{n+1}\subset S_n
\end{aligned}\right.\\
&\Rightarrow\\
&\left\{\begin{aligned}
&\bigcap_{n=0}^{+\infty}S_n\text{ segment non vide}\\
&l(S_n)\to0\Rightarrow\bigcap_{n=0}^{+\infty}S_n=\{m\},m\in\R
\end{aligned}\right.\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de Bolzano Weierstrass[/latex]
A: [latex]De toute suite born\'ee, on peut extraire une sous suite convergente[/latex]

Q: [latex]S\'erie harmonique[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&\bullet H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\\
&\bullet\lim H_n=+\infty\\
&\bullet H_n\sim\ln n
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de Ces\`aro[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}\begin{gathered}
\forall(u_n)\in\R^{\N}\quad\forall n\in\N^\ast\quad v_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nu_k\\
\lim u_n=\ell\in\R\Rightarrow\lim v_n=\ell
\end{gathered}\end{equation*}[/latex]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(I,\R),\forall a\text{ r\'eel adh\'erant \`a }I,\lim_{x\to a}f(x)=l\in\R\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to a}f(x)=l\in\R\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists\alpha>0,\forall x\in I,|x-a|\le\alpha\Rightarrow|f(x)-l|\le\epsilon[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(I,\R),\lim_{x\to-\infty}f(x)=l\in\R\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to-\infty}f(x)=l\in\R\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists A\in\R,\forall x\in I,x\le A\Rightarrow|f(x)-l|\le\epsilon[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(I,\R),\lim_{x\to+\infty}f(x)=l\in\R\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to+\infty}f(x)=l\in\R\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists A\in\R,\forall x\in I,x\ge A\Rightarrow|f(x)-l|\le\epsilon[/$$]

Q: [latex]$a\in I$ et $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell\in\R\Rightarrow$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}a\in I\text{ et }\lim_{x\to a}f(x)=\ell\in\R\Rightarrow\ell=f(a)\end{equation*}[/latex]

Q: [$$]f\text{ continue en a }\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]f\text{ continue en a }\Leftrightarrow\lim_{x\to a}f(x)\text{ existe}[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(I,\R),\forall a\text{ r\'eel adh\'erant \`a }I,\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall A\in\R,\exists\alpha>0,\forall x\in I,|x-a|\le\alpha\Rightarrow f(x)\ge A[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(I,\R),\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall A\in\R,\exists B\in\R,\forall x\in I,x\ge B\Rightarrow f(x)\ge A[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(I,\R),\forall a\text{ r\'eel adh\'erant \`a }I,\lim_{x\to a}f(x)=-\infty\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to a}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall A\in\R,\exists\alpha>0,\forall x\in I,|x-a|\le\alpha\Rightarrow f(x)\le A[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(I,\R),\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall A\in\R,\exists B\in\R,\forall x\in I,x\ge B\Rightarrow f(x)\le A[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(I,\R),\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall A\in\R,\exists B\in\R,\forall x\in I,x\le B\Rightarrow f(x)\le A[/$$]

Q: [latex]Caract\'erisation s\'equentielle de la limite[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
f:I\to\R,a\text{ adh\'erant \`a }I,l\in\overline{\R},&u_n\in\R^\N,\forall n\in\N,u_n\in I,u_n\to a\\
\lim_{x\to a}f(x)&=l\Leftrightarrow f(u_n)\to l
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$]\forall(f,g)\in\mathcal{C}(\R)^2,\forall x\in\Q,f(x)=g(x)\Rightarrow[/$$]
A: [$$]\forall x\in\Q,f(x)=g(x)\Rightarrow\forall x\in\R,f(x)=g(x)[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(I,\R),\forall a\text{ adh\'erant \`a }I,\lim_{x\to a^-}f(x)=l\in\R\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to a^-}f(x)=l\in\R\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists\alpha>0,\forall x\in I,a-\alpha\le x<a\Rightarrow|f(x)-l|\le\epsilon[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(I,\R),\forall a\text{ adh\'erant \`a }I,\lim_{x\to a^+}f(x)=l\in\R\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to a^+}f(x)=l\in\R\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists\alpha>0,\forall x\in I,a<x\le a+\alpha\Rightarrow|f(x)-l|\le\epsilon[/$$]

Q: [$$]\lim_{x\to a}f(x)=l\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\lim_{x\to a}f(x)=l\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}
&\lim_{x\to a^-}f(x)=l\\
&\lim_{x\to a^+}f(x)=l\\
&f(a)=l
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires[/latex]
A: [latex]L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle[/latex]

Q: [$$]f\in\mathcal{C}(I),(a,b)\in I^2,f(a)f(b)\le0\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]f(a)f(b)\le0\Leftrightarrow f\text{ s'annule sur }[a,b][/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(I,\R),f\ k\text{-lipschitzienne}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]f\ k\text{-lipschitzienne}\Leftrightarrow\forall(x,y)\in I^2,|f(x)-f(y)|\le k|x-y|[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{D}(I,\R),f\ k\text{-lipschitzienne}\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]f\ k\text{-lipschitzienne}\Leftrightarrow\forall x\in I,|f'(x)|\le k[/$$]

Q: [$$]\forall f\in\mathcal{F}(I,\R),f\text{ uniform\'ement continue }\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]f\text{ uniform\'ement continue }\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists\alpha>0,\forall(x,y)\in I^2,|x-y|\le\alpha\Rightarrow|f(x)-f(y)|\le\epsilon[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de Heine[/latex]
A: [latex]Toute fonction continue sur un segment est uniform\'ement continue[/latex]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de la limite monotone[/latex]
A: [$$]f\text{ croissante }\Rightarrow\lim_{x\to a^-}f(x)\le f(a)\le\lim_{x\to a^+}f(x)[/$$]

Q: [$$]f\text{ lipschitzienne }\Rightarrow[/$$]
A: [$$]f\text{ lipschitzienne }\Rightarrow f\text{ uniform\'ement continue }\Rightarrow f\text{ continue}[/$$]

Q: [$$]f\in\mathcal{C}(I)\text{ injective sur }I\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]f\in\mathcal{C}(I)\text{ injective sur }I\Leftrightarrow f\text{ strictement monotone sur }I[/$$]

Q: [$$]f\in\mathcal{C}(I)\text{ injective sur }I\Rightarrow[/$$]
A: [$$]f\in\mathcal{C}(I)\text{ injective sur }I\Rightarrow f\text{ bijective de }I\text{ dans }f(I)\text{ et }f^{-1}\text{ continue et de m\^eme sens de variation}[/$$]

Q: [$$]A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{np}(\K),B=(b_{ij})\in\mathcal{M}_{pq}(\K),AB=[/$$]
A: [$$]AB=\left(\sum_{k=1}^pa_{ik}b_{kj}\right)\in\mathcal{M}_{nq}(\K)[/$$]

Q: [$$]B=\left((e_i)_{1\le i\le n}\right),C=\left((f_i)_{1\le i\le p}\right),M_{BC}(f)=[/$$]
A: [$$]M_{BC}(f)=\ \begin{blockarray}{ccc}
    f(e_1) & \cdots f(e_n) & \\
    \begin{block}{(cc)c}
      \phantom{0} & \phantom{0} & f_1\\
      \phantom{0} & \phantom{0} & \vdots\\
      \phantom{0} & \phantom{0} & f_p\\
    \end{block}
  \end{blockarray}
[/$$]

Q: [$$]P_{B\to B'}=[/$$]
A: [$$]P_{B\to B'}=\ \begin{blockarray}{ccc}
    e_1' & \cdots e_n' & \\
    \begin{block}{(cc)c}
      \phantom{0} & \phantom{0} & e_1\\
      \phantom{0} & \phantom{0} & \vdots\\
      \phantom{0} & \phantom{0} & e_n\\
    \end{block}
  \end{blockarray}=M_{B'B}(id_E)[/$$]

Q: [$$]J_r=[/$$]
A: [$$]J_r=\left(\begin{aligned}
I_r & & 0_{r,p-r}\\
0_{n-r,r} & & 0_{n-r,p-r}\\
\end{aligned}\right)\in\mathcal{M}_{np}(\K),r\in\llbracket1,\min(n,p)\rrbracket\text{ et }J_0=0_{np}[/$$]

Q: [$$]\forall M\in\mathcal{M}_{np}(\K),\exists r\in\llbracket0,\min(n,p)\rrbracket,[/$$]
A: [$$]\forall M\in\mathcal{M}_{np}(\K),\exists r\in\llbracket0,\min(n,p)\rrbracket,\exists(P,Q)\in\mathrm{GL}_n(\K)\times\mathrm{GL}_p(\K),M=PJ_rQ[/$$]

Q: [$$]E_{ij}E_{kl}=[/$$]
A: [$$]E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}[/$$]

Q: [$$]\forall\lambda\in\K,\forall A\in\mathcal{M}_n(\K),\det(\lambda A)=[/$$]
A: [$$]\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A)[/$$]

Q: [$$]\forall A\in\mathcal{M}_n(\K),\det({}^t\!A)=[/$$]
A: [$$]\det({}^t\!A)=\det(A)[/$$]

Q: [$$]\forall A=(a_{ij})\in\mathcal{D}_n(\K),\det(A)=[/$$]
A: [$$]\det(A)=\prod_{k=1}^na_{kk}[/$$]

Q: [$$]\forall A=(a_{ij})\in\mathcal{T}_n^+(\K),\det(A)=[/$$]
A: [$$]\det(A)=\prod_{k=1}^na_{kk}[/$$]

Q: [$$]\forall(A,B)\in\mathcal{M}_n(\K)^2,\det(AB)=[/$$]
A: [$$]\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(BA)[/$$]

Q: [$$]\forall A\in\mathrm{GL}_n(\K),\det(A^{-1})=[/$$]
A: [$$]\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}[/$$]

Q: [$$]P=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nX^n,Q=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nX^n,P=Q\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]P=Q\Leftrightarrow\forall n\in\N,a_n=b_n[/$$]

Q: [$$]P=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nX^n,Q=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nX^n,P+Q=[/$$]
A: [$$]P+Q=\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)X^n[/$$]

Q: [$$]P=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nX^n,Q=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nX^n,PQ=[/$$]
A: [$$]PQ=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)X^n[/$$]

Q: [$$]P=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nX^n,P'=[/$$]
A: [$$]P'=\sum_{n=1}^{+\infty}na_nX^{n-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)a_{n+1}X^n[/$$]

Q: [$$]\forall(P,Q)\in\K[X]^2,(PQ)^{(n)}=[/$$]
A: [$$](PQ)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}P^{(k)}Q^{(n-k)}[/$$]

Q: [$$]P=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nX^n,\deg(P)=[/$$]
A: [$$]\deg(P)=\left\{\begin{aligned}
&-\infty &\text{ si }P=0\\
&\max\{n\in\N,a_n\not=0\} &\text{ si }P\not=0
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [$$]\forall(P,Q)\in\K[X]^2,\deg(PQ)=[/$$]
A: [$$]\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)[/$$]

Q: [$$]\forall(P,Q)\in\K[X]^2,\deg(P+Q)=[/$$]
A: [$$]\begin{aligned}
&\deg(P+Q)\le\max(\deg(P),\deg(Q))\\
&\deg(P+Q)=\max(\deg(P),\deg(Q))\text{ si }\deg(P)\not=\deg(Q)
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de la division euclidienne pour les polyn\^omes[/latex]
A: [$$]\forall(A,B)\in\K[X]^2,\exists!(Q,R)\in\K[X],A=BQ+R\text{ et }\deg(R)<\deg(B)[/$$]

Q: [$$]\forall(A,B)\in\K[X]^2,A\text{ et }B\text{ associ\'es }\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]A\text{ et }B\text{ associ\'es }\Leftrightarrow A|B\text{ et }B|A[/$$]

Q: [$$]\forall n\in\N^*,\forall k\in\llbracket0,n\rrbracket,{X^n}^{(k)}=[/$$]
A: [$$]{X^n}^{(k)}=\frac{n!}{(n-k)!}X^{n-k}[/$$]

Q: [latex]Formule de Taylor pour les polyn\^omes[/latex]
A: [$$]\forall P\in\K_n[X],\forall a\in\K,P=\sum_{k=0}^n\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k[/$$]

Q: [latex]Formule de Mac-Laurin[/latex]
A: [$$]\forall P\in\K_n[X],P=\sum_{k=0}^n\frac{P^{(k)}(0)}{k!}X^k[/$$]

Q: [latex]$P\in\mathbb K[X],\quad\exists a\in\mathbb K\quad P(a)=0\Leftrightarrow$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}P(a)=0\Leftrightarrow (X-a)\rvert P\end{equation*}[/latex]

Q: [$$]P\in\K[X]\text{ irr\'eductible dans }\K\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]P\in\K[X]\text{ irr\'eductible dans }\K\Leftrightarrow\deg(P)\ge1\text{ et }\forall D\in\K[X],D|P,D=\lambda\text{ ou }D=\lambda P,\lambda\in\K[/$$]

Q: [$$]P\in\K[X]\text{ irr\'eductible dans }\C\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]P\in\K[X]\text{ irr\'eductible dans }\C\Leftrightarrow\deg(P)=1[/$$]

Q: [$$]P\in\K[X]\text{ irr\'eductible dans }\R\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]P\in\K[X]\text{ irr\'eductible dans }\R\Leftrightarrow\deg(P)=1\text{ ou }\deg(P)=2\text{ et }\Delta<0[/$$]

Q: [latex]$a$ racine de $P$ de multiplicit\'e $m\Leftrightarrow$[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&\Leftrightarrow\forall k\in\llbracket0,m-1\rrbracket,P^{(k)}(a)=0\text{ et }P^{(m)}(a)\not=0\\
&\Leftrightarrow(X-a)^m|P\text{ et }(X-a)^{m+1}\not|P
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]$P\in\K[X]$ scind\'e sur $\K\Leftrightarrow$[/latex]
A: [latex]$\Leftrightarrow P=\lambda\in\K$ ou $P$ produit de polyn\^omes de $\K[X]$ de degr\'e $1$[/latex]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de d'Alembert Gauss[/latex]
A: [latex]Tout polyn\^ome de $\C[X]$ non constant a une racine dans $\C$[/latex]

Q: [$$]\forall z\in\C,(X-z)(X-\overline{z})=[/$$]
A: [$$]\forall z\in\C,(X-z)(X-\overline{z})=X^2-2\Re e(z)X+|z|^2[/$$]

Q: [latex]Fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires[/latex]
A: [$$]\sigma_k=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}\ \left(\text{somme des produits de $k$ racines de }\sum_{n=0}^{+\infty}a_nX^n\right)[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme d'interpolation de Lagrange[/latex]
A: [latex]Il existe un unique polyn\^ome $L$ de degr\'e $n$ passant par $n+1$ points $(x_i,y_i)$ $$L=\sum_{i=0}^ny_i\left(\prod_{j=0,j\not=i}^n\frac{X-x_j}{x_i-x_j}\right)$$[/latex]

Q: [latex]$\phi$ produit scalaire sur $E\Leftrightarrow$[/latex]
A: [$$]\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}
&\phi:E^2\to\R\\
&\phi\text{ bilin\'eaire}\\
&\phi\text{ sym\'etrique, }\forall(x,y)\in E^2,\phi(x,y)=\phi(y,x)\\
&\phi\text{ positive, }\forall x\in E,\phi(x,x)\ge0\\
&\phi\text{ d\'efinie, }\forall x\in E,\phi(x,x)=0\Rightarrow x=0\\
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [latex]Produit scalaire canonique de $\R^n$[/latex]
A: [$$](x|y)=\sum_{i=1}^nx_iy_i[/$$]

Q: [latex]Produit scalaire canonique de $\mathcal{M}_n(\R)$[/latex]
A: [$$](A|B)=\tr({}^t\!AB)=\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}b_{ij}[/$$]

Q: [latex]Produit scalaire canonique de $\mathcal{C}([a,b],\R)$[/latex]
A: [$$](f|g)=\int_a^bfg[/$$]

Q: [latex]Produit scalaire canonique de $\R[X]$[/latex]
A: [$$](P|Q)=\int_0^1PQ[/$$]

Q: [latex]Espace pr\'ehilbertien[/latex]
A: [latex]$\R$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire[/latex]

Q: [latex]Espace euclidien[/latex]
A: [latex]Espace pr\'ehilbertien  r\'eel de dimension finie[/latex]

Q: [latex]Inégalité de Schwarz[/latex]
A: [latex]Soient $f$ et $g$ de module carré intégrable sur $I$.
$\rvert fg\rvert$ est intégrable sur $I$, et :\begin{equation*}
\left(\int_I\rvert fg\rvert\right)^2\le\int_I\rvert f\rvert^2\cdot\int_I\rvert g\rvert^2\end{equation*}
Si $f$ et $g$ sont continues, le cas d'égalité\\
correspond à $\exists\lambda\in\C\quad f=\lambda g$.[/latex]

Q: [$$]\forall x\in E,||x||=[/$$]
A: [$$]||x||=\sqrt{(x|x)}[/$$]

Q: [$$]\forall(x,y)\in E^2,||x+y||^2=[/$$]
A: [$$]\forall(x,y)\in E^2,||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2(x|y)[/$$]

Q: [$$]\forall(x,y)\in E^2,||x-y||^2=[/$$]
A: [$$]\forall(x,y)\in E^2,||x-y||^2=||x||^2+||y||^2-2(x|y)[/$$]

Q: [$$]\forall(x,y)\in E^2,||x||^2-||y||^2=[/$$]
A: [$$]\forall(x,y)\in E^2,||x||^2-||y||^2=(x+y|x-y)[/$$]

Q: [latex]Identit\'e du parall\'elogramme[/latex]
A: [$$]\forall(x,y)\in E^2,||x+y||^2+||x-y||^2=2\left(||x||^2+||y||^2\right)[/$$]

Q: [$$]\forall(x,y)\in E^2,||x+y||^2+||x-y||^2=[/$$]
A: [$$]\forall(x,y)\in E^2,||x+y||^2+||x-y||^2=2\left(||x||^2+||y||^2\right)[/$$]

Q: [latex]Identit\'e de polarisation[/latex]
A: [$$]\forall(x,y)\in E^2,(x|y)=\frac{1}{4}\left(||x+y||^2-||x-y||^2\right)=\frac{1}{2}\left(||x+y||^2-||x||^2-||y||^2\right)[/$$]

Q: [$$]\forall x\in E,\forall\lambda\in\R,||\lambda x||=[/$$]
A: [$$]\forall x\in E,\forall\lambda\in\R,||\lambda x||=|\lambda|\cdot||x||[/$$]

Q: [$$]\forall x\in E,||x||=0\Rightarrow x=[/$$]
A: [$$]\forall x\in E,||x||=0\Rightarrow x=0[/$$]

Q: [latex]$x$ unitaire ou norm\'e[/latex]
A: [$$]||x||=1[/$$]

Q: [$$]\forall(x,y)\in E^2,x\perp y\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\forall(x,y)\in E^2,x\perp y\Leftrightarrow(x|y)=0[/$$]

Q: [latex]$F$ et $G$ sev de $E$, $F\perp G\Leftrightarrow$[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
F\perp G&\Leftrightarrow\forall(x,y)\in F\times G,(x|y)=0\\
&\Rightarrow F\cap G=\{0\}
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$]\forall F\in\mathcal{P}(E),F^\perp=[/$$]
A: [$$]\forall F\in\mathcal{P}(E),F^\perp=\{x\in E,\forall y\in F,(x|y)=0\}\text{   ($F^\perp$ sev de $E$)}[/$$]

Q: [$$]\forall(F,G)\in\mathcal{P}(E)^2,F\text{ et $G$ perpendiculaires }\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\forall(F,G)\in\mathcal{P}(E)^2,F\text{ et $G$ perpendiculaires }\Leftrightarrow F^\perp\perp G^\perp[/$$]

Q: [$$](x_i)_{i\in I}\text{ famille orthogonale }\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow\forall(i,j)\in I^2,i\not=j\Rightarrow(x_i|x_j)=0[/$$]

Q: [$$](x_i)_{i\in I}\text{ famille orthonorm\'ee }\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow\forall(i,j)\in I^2,(x_i|x_j)=\delta_{ij}[/$$]

Q: [latex]Relation de Pythagore[/latex]
A: [$$](x_i)_{1\le i\le n}\text{ orthogonale }\Rightarrow\forall p\in\llbracket1,n\rrbracket,\left\lVert\sum_{i=1}^px_i\right\rVert^2=\sum_{i=1}^p\lVert x_i\rVert^2[/$$]

Q: [$$]\dim\left(\prod_{i=1}^pE_i\right)=[/$$]
A: [$$]\dim\left(\prod_{i=1}^pE_i\right)=\sum_{i=1}^p\dim E_i[/$$]

Q: [$$]\bigoplus_{i=1}^pF_i\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\begin{aligned}
&\Leftrightarrow\forall u\in\sum_{i=1}^pF_i,\exists!(u_i)_{1\le i\le p}\in\prod_{i=1}^pF_i,u=\sum_{i=1}^pu_i\\
&\Leftrightarrow\forall(u_i)_{1\le i\le p}\in\prod_{i=1}^pF_i,\sum_{i=1}^pu_i=0\Rightarrow\forall i\in\llbracket1,p\rrbracket,u_i=0\\
&\Leftrightarrow\forall j\in\llbracket1,p\rrbracket F_j\cap\sum_{i=1,i\not=j}^pF_i=\{0\}
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]$(F_i)_{1\le i\le p}$ suppl\'ementaires dans $E\Leftrightarrow$[/latex]
A: [$$]\Leftrightarrow\bigoplus_{i=1}^pF_i=E[/$$]

Q: [$$]\dim\left(\sum_{i=1}^pF_i\right)=[/$$]
A: [$$]\dim\left(\sum_{i=1}^pF_i\right)\le\sum_{i=1}^p\dim F_i[/$$]

Q: [$$]\dim\left(\bigoplus_{i=1}^pF_i\right)=[/$$]
A: [$$]\dim\left(\bigoplus_{i=1}^pF_i\right)=\sum_{i=1}^p\dim F_i[/$$]

Q: [$$]E=\bigoplus_{i=1}^pF_i\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]E=\bigoplus_{i=1}^pF_i\Leftrightarrow\dim E=\sum_{i=1}^p\dim F_i[/$$]

Q: [$$]\bigoplus_{i=1}^pF_i\text{ et }\dim E=\sum_{i=1}^p\dim F_i\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\bigoplus_{i=1}^pF_i\text{ et }\dim E=\sum_{i=1}^p\dim F_i\Leftrightarrow E=\bigoplus_{i=1}^pF_i[/$$]

Q: [$$]\phi\in E^*\backslash\{0\}\Rightarrow[/$$]
A: [$$]\phi\in E^*\backslash\{0\}\Rightarrow\dim(\ker(\phi))=\dim(E)-1[/$$]

Q: [$$](\phi,\psi)\in (E\backslash\{0\})^2,\exists\lambda\in\K^\ast,\phi=\lambda\psi\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$](\phi,\psi)\in (E\backslash\{0\})^2,\exists\lambda\in\K^\ast,\phi=\lambda\psi\Leftrightarrow\ker(\phi)=\ker(\psi)[/$$]

Q: [$$](\phi,\psi)\in (E\backslash\{0\})^2,\ker(\phi)=\ker(\psi)\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$](\phi,\psi)\in (E\backslash\{0\})^2,\ker(\phi)=\ker(\psi)\Leftrightarrow\exists\lambda\in\K^\ast,\phi=\lambda\psi[/$$]

Q: [$$]\ker(f_{|F})=[/$$]
A: [$$]\ker(f_{|F})=\ker(f)\cap F[/$$]

Q: [latex]$F$ stable par $f\Leftrightarrow$[/latex]
A: [$$]\Leftrightarrow f(F)\subset F[/$$]

Q: [$$]E=\bigoplus_{i=1}^pF_i,B\text{ base adapt\'ee et }\forall i\in\llbracket1,p\rrbracket,\dim F_i=n_i,f\in\mathcal{L}(E)\text{ stabilise tous les }F_i\Leftrightarrow M_B(f)=[/$$]
A: [$$]\Leftrightarrow M_B(f)=\left(\begin{aligned}
& A_1 & 0 & \cdots & 0\\
& 0 & A_2 & \ddots & \vdots\\
& \vdots & \ddots & \ddots & 0\\
& 0 & \cdots & 0 & A_p\\
\end{aligned}\right),\forall i\in\llbracket1,p\rrbracket,A_i\in\mathcal{M}_{n_i}(\K)[/$$]

Q: [$$]\forall (A,B,C)\in\mathcal{M}_n(\K)\times\mathcal{M}_{n,p}(\K)\times\mathcal{M}_p(\K),\det\left(\begin{aligned}& A & B\\& 0 & C\end{aligned}\right)=[/$$]
A: [$$]\det\left(\begin{aligned}& A & B\\& 0 & C\end{aligned}\right)=\det(A)\det(C)[/$$]

Q: [latex]D\'eterminant de Vandermonde[/latex]
A: [$$]\forall(a_i)_{1\le i\le n}\in\K^n,V((a_i)_{1\le i\le n})=\left|a_i^{j-1}\right|_{1\le i,j\le n}=\left|\begin{matrix}
&1 &a_1 &a_1^2 &\cdots &a_1^{n-1}\\
&1 &a_2 &a_2^2 &\cdots &a_2^{n-1}\\
&\vdots & & & &\vdots\\
&\vdots & & & &\vdots\\
&1 &a_n &a_n^2 &\cdots &a_n^{n-1}\\
\end{matrix}\right|_{[n]}=\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)[/$$]

Q: [$$]u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n,(a,b)\in(\C^*)^2[/$$]
A: [$$]\begin{aligned}
&(EC):X^2-aX-b=0\\
&\bullet\Delta\not=0\Rightarrow(EC):(X-\alpha)(X-\beta),(\alpha,\beta)\in\C^2\\
&\forall n\in\N,u_n=A\alpha^n+B\beta^n,(A,B)\in\C^2\\
&\bullet\Delta=0\Rightarrow(EC):(X-\alpha)^2,\alpha\in\C\\
&\forall n\in\N,u_n=(An+B)\alpha^n,(A,B)\in\C^2\\
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$]u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n,(a,b)\in(\R^*)^2[/$$]
A: [$$]\begin{aligned}
&(EC):X^2-aX-b=0\\
&\bullet\Delta>0\Rightarrow(EC):(X-\alpha)(X-\beta),(\alpha,\beta)\in\R^2\\
&\forall n\in\N,u_n=A\alpha^n+B\beta^n,(A,B)\in\R^2\\
&\bullet\Delta=0\Rightarrow(EC):(X-\alpha)^2,\alpha\in\R\\
&\forall n\in\N,u_n=(An+B)\alpha^n,(A,B)\in\R^2\\
&\bullet\Delta<0\Rightarrow(EC):(X-\rho e^{i\theta})(X-\rho e^{-i\theta}),(\rho,\theta)\in\R^2\\
&\forall n\in\N,u_n=\rho^n(A\cos(n\theta)+B\sin(n\theta)),(A,B)\in\R^2\\
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$]\lambda\in\Sp(A)\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\begin{array}{l}
\Leftrightarrow\det(A-\lambda I)=0\\
\Leftrightarrow\dim(\ker(A-\lambda I))\ge1\\
\Leftrightarrow\rg(A-\lambda I)<n
\end{array}[/$$]

Q: [$$]\forall(f,g)\in\mathcal{L}(E)^2,f\circ g=g\circ f\Rightarrow[/$$]
A: [$$]\forall(f,g)\in\mathcal{L}(E)^2,f\circ g=g\circ f\Rightarrow\left\{\begin{array}{@{}l@{}}\forall\lambda\in\Sp(f),g(E_\lambda(f))\subset E_\lambda(f)\\\im(g)\text{ et }\ker(g)\text{ stables par $f$ et $g$}\end{array}\right.\,[/$$]

Q: [latex]Polyn\^ome caract\'eristique de $A\in\mathcal{M}_n(\K)$[/latex]
A: [$$]\chi_A=\det(XI_n-A)[/$$]

Q: [latex]$A\in\mathcal{M}_n(\K)$ diagonalisable $\Leftrightarrow$[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&\bullet E=\bigoplus_{\lambda\in\Sp(A)}E_\lambda(A)\\
&\bullet\sum_{\lambda\in\Sp(A)}\dim(E_\lambda(A))=\dim(E)\\
&\bullet\chi_A=\prod_{\lambda\in\Sp(A)}(X-\lambda)^{m_\lambda}\text{ et }\forall\lambda\in\Sp(A),\dim(E_\lambda)=m_\lambda\\
&\bullet\exists P\in\mathrm{GL}_n(\K),P^{-1}AP\in\mathcal{D}_n(\K)\\
&\bullet A\text{ annule un polyn\^ome scind\'e \`a racines simples}\\
&\bullet\prod_{\lambda\in\Sp(A)}(A-\lambda I_n)=0
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]$A\in\mathcal{M}_n(\K)$ trigonalisable $\Leftrightarrow$[/latex]
A: [$$]\chi_A\text{ est scind\'e sur }\K[/$$]

Q: [$$]\forall P\in\K[X],\forall f\in\mathcal{L}(E),[/$$]
A: [$$]\forall P\in\K[X],\forall f\in\mathcal{L}(E),\im(P(f))\text{ et }\ker(P(f))\text{ stables par $f$}[/$$]

Q: [$$]\forall P\in\K[X],\forall A\in\mathcal{M}_n(\K),P(A)=0\Rightarrow[/$$]
A: [$$]\forall P\in\K[X],\forall A\in\mathcal{M}_n(\K),P(A)=0\Rightarrow\forall\lambda\in\Sp(A),P(\lambda)=0[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de Cayley-Hamilton[/latex]
A: [latex]Le polyn\^ome caract\'eristique de $f$ est annulateur de $f$[/latex]

Q: [$$]\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{np}(\K)^2,A\text{ \'equivalente \`a }B\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]A\text{ \'equivalente \`a }B\Leftrightarrow\exists(P,Q)\in\mathrm{GL}_n(\K)\times\mathrm{GL}_p(\K),\ A=PBQ\Leftrightarrow\rg(A)=\rg(B)[/$$]

Q: [$$]A\in\mathcal{O}_n(\R)\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]A\in\mathcal{O}_n(\R)\Leftrightarrow{}^tAA=I_n\Leftrightarrow {}^tA=A^{-1}[/$$]

Q: [latex]$p\in\N,A\in\Delta_p\Leftrightarrow$[/latex]
A: [$$]\forall p\in\N,A\in\Delta_p\Leftrightarrow\rg(A)\ge p[/$$]

Q: [$$]\forall p\in\N,A\in\nabla_p\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\forall p\in\N,A\in\nabla_p\Leftrightarrow\rg(A)\le p[/$$]

Q: [latex]Tout espace euclidien ...[/latex]
A: [latex]Tout espace euclidien admet une base orthonorm\'ee[/latex]

Q: [$$](u_i)_{1\le i\le n}\text{ b.o.n. de }E,$$$$\forall x\in E,x=[/$$]
A: [$$]x=\sum_{i=1}^n(x|u_i)u_i[/$$]

Q: [$$](u_i)_{1\le i\le n}\text{ b.o.n. de }E,$$$$\forall(x,y)\in E^2,(x|y)=[/$$]
A: [$$](x|y)=\sum_{i=1}^n(x|u_i)(y|u_i)[/$$]

Q: [latex]$F$ s.e.v. de $E$ euclidien $\Rightarrow$[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
F\oplus F^\perp&=E\\
(F^\perp)^\perp&=F
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]$F$ s.e.v. de $E,\forall x\in E,d(x,F)=$[/latex]
A: [$$]\begin{array}{rl}
d(x,F)&=\inf\left\{||x-y||,y\in F\right\}\\
&=||x-p_F(x)||\\
&=\sqrt{||x||^2-||p_F(x)||^2}\\
&=\sqrt{(x|x-p_F(x))}
\end{array}[/$$]

Q: [$$](u_i)_{1\le i\le n}\text{ b.o.n. de }E,F=\vect\left((u_i)_{1\le i\le p}\right),$$$$\text{$p$ projecteur orthogonal de $E$ sur $F$},$$$$\forall x\in E, p(x)=[/$$]
A: [$$]p(x)=\sum_{i=1}^p(x|u_i)u_i[/$$]

Q: [latex]Orthonormalisation de Gram-Schmidt[/latex]
A: [$$](e_i)_{1\le i\le n}\text{ famille libre de }E,\exists!(u_i)_{1\le i\le n}\text{ famille orthonormale de $E$ telle que }\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket,$$$$\vect\left((e_i)_{1\le i\le k}\right)=\vect\left((u_i)_{1\le i\le k}\right)\text{ et }(e_k|u_k)\in\R_+^*\text{ et }u_k=\frac{\displaystyle e_k-\sum_{i=1}^{k-1}(e_k|u_i)u_i}{\displaystyle\left\lVert e_k-\sum_{i=1}^{k-1}(e_k|u_i)u_i\right\rVert}[/$$]

Q: [latex]$s$ sym\'etrie orthogonale de $E\Leftrightarrow$[/latex]
A: [$$]\ker(s-id)\overset{\perp}\oplus\ker(s+id)=E[/$$]

Q: [latex]$s$ sym\'etrie orthogonale $\Rightarrow$[/latex]
A: [$$]\forall x\in E,||s(x)||=||x||[/$$]

Q: [latex]R\'eflexion orthogonale[/latex]
A: [latex]sym\'etrie orthogonale par rapport \`a un hyperplan[/latex]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de Riesz[/latex]
A: [$$]\forall\phi\in E^*,\exists!a\in E,\forall x\in E,\phi(x)=(a|x)\text{ (E euclidien)}[/$$]

Q: [$$]f\in\mathcal{O}(E)\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]\begin{array}{l}
\Leftrightarrow f\in\mathcal{L}(E)\text{ et }\forall(x,y)\in E^2,\left(f(x)|f(y)\right)=(x|y)\\
\Leftrightarrow f\in\mathcal{L}(E)\text{ et }\forall x\in E,||f(x)||=||x||
\end{array}[/$$]

Q: [$$]\mathcal{B}\text{ b.o.n. de $E$ et }f\in\mathcal{L}(E),$$$$f\in\mathcal{O}(E)\Leftrightarrow[/$$]
A: [$$]f\in\mathcal{O}(E)\Leftrightarrow f(\mathcal{B})\text{ b.o.n. de $E$}[/$$]

Q: [$$]A\in\mathcal{O}_n(\R)\Rightarrow\det(A)=[/$$]
A: [$$]A\in\mathcal{O}_n(\R)\Rightarrow\det(A)=\pm1[/$$]

Q: [latex]Rotation vectorielle de $E$[/latex]
A: [latex]\'El\'ement du groupe sp\'ecial orthogonal de $E$[/latex][$$]\mathcal{SO}(E)=\{f\in\mathcal{O}(E),\det(f)=1\}[/$$]

Q: [$$]\mathcal{SO}_2(\R)=[/$$]
A: [$$]\mathcal{SO}_2(\R)=\left\{\left(\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right),\theta\in\R\right\}[/$$]

Q: [$$]\mathcal{O}_2(\R)=[/$$]
A: [$$]\begin{array}{rl}
\mathcal{O}_2(\R) & =\{A\in\mathcal{O}_2(\R),\det(A)=1\}\cup\{A\in\mathcal{O}_2(\R),\det(A)=-1\}\\
& =\left\{\left(\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right),\theta\in\R\right\}\cup\left\{\left(\begin{array}{cc}
\cos\theta & \sin\theta\\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{array}\right),\theta\in\R\right\}
\end{array}[/$$]

Q: [$$]\card(A\cup B)=[/$$]
A: [$$]\card(A\cup B)=\card(A)+\card(B)-\card(A\cap B)[/$$]

Q: [$$]\card(E)=n\in\N^*,\card(F)=p\in\N^*,\card(E\times F)=[/$$]
A: [$$]\card(E\times F)=np[/$$]

Q: [$$]\forall p\in\N^*,\card(E^p)=[/$$]
A: [$$]\forall p\in\N^*,\card(E^p)=\card(E)^p[/$$]

Q: [$$]\card(E)=n\in\N^*,\card(F)=p\in\N^*,\card(\mathcal{F}(E,F))=[/$$]
A: [$$]\card(\mathcal{F}(E,F))=p^n[/$$]

Q: [$$]\card(E)=n\in\N^*,\card(\mathcal{P}(E))=[/$$]
A: [$$]\card(\mathcal{P}(E))=2^n[/$$]

Q: [$$]\card(E)=n\in\N^*,\mathcal{S}(E)\text{ ensemble des bijections de }E,\card(\mathcal{S}(E))=[/$$]
A: [$$]\card(\mathcal{S}(E))=n![/$$]

Q: [$$]\card(E)=n\in\N^*,\forall p\in\llbracket0,n\rrbracket,\card(\mathcal{P}_p(E))=[/$$]
A: [$$]\card(\mathcal{P}_p(E))=\binom{n}{p}[/$$]

Q: [$$]\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=[/$$]
A: [$$]\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n[/$$]

Q: [$$]\forall A\in\mathcal{M}_{pn}(\K),{}^tAA\in[/$$]
A: [$$]\forall A\in\mathcal{M}_{pn}(\K),{}^tAA\in\mathcal{S}_n(\K)[/$$]

Q: [$$]X:\Omega\to\R\text{ une variable al\'eatoire, }\mathbb E(X)=[/$$]
A: [$$]\mathbb E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)}xP(X=x)[/$$]

Q: [latex]$X:\Omega\to\R$ une variable aléatoire, $f:X(\Omega)\to\R$,\\$\mathbb E(f(X))=$[/latex]
A: [$$]\mathbb E(f(X))=\sum_{x\in X(\Omega)}f(x)P(X=x)\ \ \text{(formule de transfert)}[/$$]

Q: [latex]In\'egalit\'e de Markov[/latex]
A: [$$]X\text{ une variable al\'eatoire r\'eelle positive, }\forall\alpha>0,P(X\ge\alpha)\le\frac{\mathbb E(X)}{\alpha}[/$$]

Q: [$$]X\text{ une variable al\'eatoire r\'eelle, }\V(X)=[/$$]
A: [latex]\begin{align*}
\V(X)&=\E((X-\E(X))^2)\\
&=\E(X^2)-\E(X)^2
\end{align*}[/latex]

Q: [latex]Formule de K\"onig-Huygens[/latex]
A: [$$]X\text{ une variable al\'eatoire r\'eelle, }\V(X)=\E(X^2)-\E(X)^2[/$$]

Q: [latex]In\'egalit\'e de Bienaym\'e-Tchebychev[/latex]
A: [$$]X\text{ une variable al\'eatoire r\'eelle, }\forall\epsilon>0,\P(\rvert X-\E(X)\rvert\ge\epsilon)\le\frac{\V(X)}{\epsilon^2}[/$$]

Q: [latex]Loi de Bernoulli[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&X\hookrightarrow\mathcal{B}(p)\\
&X(\Omega)=\{0,1\}\\
&\P(X=1)=p\text{ et }\P(X=0)=1-p\\
&\E(X)=p\\
&\V(X)=p(1-p)
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Loi binomiale[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)\\
&X(\Omega)=\llbracket0,n\rrbracket\\
&\forall k\in X(\Omega),\P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\
&\E(X)=np\\
&\V(X)=np(1-p)
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$](\argsh u)'=[/$$]
A: [$$](\argsh u)'=\frac{u'}{\sqrt{u^2+1}}[/$$]

Q: [$$]\forall x\in]1,+\infty[,(\argch u)'=[/$$]
A: [$$](\argch u)'=\frac{u'}{\sqrt{u^2-1}}[/$$]

Q: [$$]\forall x\in]-1,1[,(\argth u)'=[/$$]
A: [$$](\argth u)'=\frac{u'}{1-u^2}[/$$]

Q: [$$]\argsh[/$$]
A: [$$]\begin{array}{rrcl}
\argsh:&\R&\to&\R\\
&x&\mapsto&\displaystyle\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)
\end{array}[/$$]

Q: [$$]\argch[/$$]
A: [$$]\begin{array}{rrcl}
\argch:&[1,+\infty[&\to&\R_+\\
&x&\mapsto&\displaystyle\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)
\end{array}[/$$]

Q: [$$]\argth[/$$]
A: [$$]\begin{array}{rrcl}
\argth:&]-1,1[&\to&\R\\
&x&\mapsto&\displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
\end{array}[/$$]

Q: [latex]S\'eries g\'eom\'etriques[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}\begin{gathered}
\sum q^n\text{ converge }\Leftrightarrow|q|<1\\
\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac1{1-q}\end{gathered}\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Divergence grossi\`ere[/latex]
A: [latex]Si $(u_n)$ ne tend pas vers $0$, alors $\sum u_n$ diverge[/latex]

Q: [latex]Reste d'ordre $n$ de la s\'erie convergente $\sum u_n$[/latex]
A: [$$]R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k[/$$]

Q: [$$](u,v)\in(\R_+^\N)^2,\forall n\in\N,u_n\le v_n,[/$$]
A: [$$]\begin{array}{l}
\bullet\sum v_n\text{ converge }\Rightarrow\sum u_n\text{ converge}\\
\bullet\sum u_n\text{ diverge }\Rightarrow\sum v_n\text{ diverge}
\end{array}[/$$]

Q: [latex]Somme partielle d'ordre $n$ de la s\'erie $\sum u_n$[/latex]
A: [$$]S_n=\sum_{k=0}^nu_k[/$$]

Q: [$$](u,v)\in\C^\N\times\R_+^\N,\forall n\in\N,u_n=O(v_n),[/$$]
A: [$$]\sum v_n\text{ converge }\Rightarrow\sum u_n\text{ converge}[/$$]

Q: [$$](u,v)\in\C^\N\times\R_+^\N,\forall n\in\N,u_n=o(v_n),[/$$]
A: [$$]\sum v_n\text{ converge }\Rightarrow\sum u_n\text{ converge}[/$$]

Q: [$$](u,v)\in(\R_+^\N)^2,u_n\sim v_n\Rightarrow[/$$]
A: [$$]\Rightarrow\sum u_n\text{ et }\sum v_n\text{ sont de m\^eme nature}[/$$]

Q: [latex]Convergence absolue (S\'eries)[/latex]
A: [$$](u_n)\in\C^\N,\sum u_n\text{ converge absolument }\Leftrightarrow\sum|u_n|\text{ converge }\Rightarrow\sum u_n\text{ converge}[/$$]

Q: [latex]R\`egle d'Alembert[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&(u_n)\in({\R_+^*})^\N,\lim\frac{u_{n+1}}{u_n}\in\overline{\R}_+\\
&\bullet\lim\frac{u_{n+1}}{u_n}<1\Rightarrow\sum u_n\text{ converge}\\
&\bullet\lim\frac{u_{n+1}}{u_n}>1\Rightarrow\sum u_n\text{ diverge grossi\`erement}
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$](u_n)\in\C^\N\text{ converge }\Leftrightarrow\sum(u_n-u_{n-1})\text{ ...}[/$$]
A: [$$](u_n)\in\C^\N\text{ converge }\Leftrightarrow\sum(u_n-u_{n-1})\text{ converge, alors }\sum_{n=1}^{+\infty}(u_n-u_{n-1})=(\lim u_n)-u_0[/$$]

Q: [latex]S\'eries de Riemann altern\'ees[/latex]
A: [$$]\sum\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\text{ converge }\Leftrightarrow\alpha>0[/$$]

Q: [latex]Int\'egrale de Dirichlet[/latex]
A: [$$]\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\dif t=\frac{\pi}{2}[/$$]

Q: [latex]Int\'egrale de Gauss[/latex]
A: [$$]\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\dif x=\sqrt{\pi}[/$$]

Q: [latex]Fonction $\Gamma$ d'Euler[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
\forall x\in\R_+^*,&\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\dif t\\
&\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]In\'egalit\'e triangulaire sur $(E,||\cdot||)$[/latex]
A: [$$]\forall(x,y)\in E^2,||x+y||\le||x||+||y||\text{   (\'egalit\'e si et seulement si $x$ et $y$ positivement li\'es)}[/$$]

Q: [latex]Produit scalaire canonique de $L_c^2(I,\R)$[/latex]
A: [$$](f|g)=\int_Ifg[/$$]

Q: [$$](x_i)_{i\in I}\text{ famille orthogonale de vecteurs tous non nuls }\Rightarrow[/$$]
A: [$$](x_i)_{i\in I}\text{ libre}[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de Pythagore[/latex]
A: [$$]\forall(x,y)\in E^2,x\perp y\Leftrightarrow||x+y||^2=||x||^2+||y||^2[/$$]

Q: [$$]H=\vect(a)^\perp,a\not=0\Rightarrow\forall x\in E,d(x,H)=[/$$]
A: [$$]d(x,H)=\frac{|(a|x)|}{||a||}[/$$]

Q: [latex]$\mathcal{A}$ tribu sur $\Omega$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}\begin{array}{l}\bullet\mathcal{A}\subset\mathcal{P}(\Omega)\\\bullet\Omega\in\mathcal{A}\\\bullet\forall A\in\mathcal{A},\bar A\in\mathcal{A}\\\bullet\forall(A_n)\in\mathcal{A}^\N,\displaystyle\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\in\mathcal{A}\end{array}\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Th\'eor\`eme de Rolle[/latex]
A: [$$]a<b,f\in\mathcal{C}([a,b]),f\in\mathcal{D}(]a,b[),\text{ et }f(a)=f(b)\Rightarrow\exists c\in]a,b[,f'(c)=0[/$$]

Q: [latex]Th\'eor\`eme des accroissements finis[/latex]
A: [$$]a<b,f\in\mathcal{C}([a,b]),f\in\mathcal{D}(]a,b[)\Rightarrow\exists c\in]a,b[,f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/$$]

Q: [latex]In\'egalit\'e des accroissements finis[/latex]
A: [$$]a<b,f\in\mathcal{C}([a,b]),f\in\mathcal{D}(]a,b[),\exists k\in]a,b[,\forall x\in]a,b[,|f'(x)|\le k\Rightarrow\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|\le k[/$$]

Q: [latex]$P$ probabilit\'e sur $(\Omega,\mathcal{A})$[/latex]
A: [$$]\begin{array}{l}
\bullet P:\mathcal{A}\to[0,1]\\
\bullet P(\Omega)=1\\
\bullet\forall(A_n)\in\mathcal{A}^\N\text{ incompatibles},\displaystyle P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(A_n)
\end{array}[/$$]

Q: [latex]Formule de Bayes[/latex]
A: [$$]P(B)\not=0\Rightarrow P(A\rvert B)=\frac{P(B\rvert A)\cdot P(A)}{P(B)}[/$$]

Q: [$$]\int\ln t\dif t=[/$$]
A: [$$]\int\ln t\dif t=t\ln(t)-t[/$$]

Q: [latex]$X$ variable al\'eatoire discr\`ete sur $(\Omega,\mathcal{A})$[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&\bullet X(\Omega)\text{ est au plus d\'enombrable}\\
&\bullet\forall x\in X(\Omega),(X=x)\in\mathcal{A}
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Loi uniforme[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket1,n\rrbracket)\\
&X(\Omega)=\llbracket1,n\rrbracket\\
&\forall k\in X(\Omega),\P(X=k)=\frac{1}{n}\\
&\E(X)=\frac{n+1}{2}\\
&\V(X)=\frac{n^2-1}{12}
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Loi g\'eom\'etrique[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&X\hookrightarrow\mathcal{G}(p)\\
&X(\Omega)=\N^*\\
&\forall k\in X(\Omega),\P(X=k)=p(1-p)^{k-1}\\
&\E(X)=\frac{1}{p}\\
&\V(X)=\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p}
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Loi de Poisson[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
&X\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda)\\
&X(\Omega)=\N\\
&\forall k\in X(\Omega),\P(X=k)=e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^k}{k!}\\
&\E(X)=\lambda\\
&\V(X)=\lambda
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Fonction de r\'epartition de $X$ variable al\'eatoire r\'eelle[/latex]
A: [$$]\begin{array}{cccc}
F_X:&\R&\to&[0,1]\\
&x&\mapsto&P(X\le x)
\end{array}$$$$F_X\text{ est croissante sur }\R$$$$\lim_{x\to-\infty}F_X(x)=0$$$$\lim_{x\to+\infty}F_X(x)=1[/$$]

Q: [latex]$(X,Y)$ Couple de variables al\'eatoires ind\'ependantes[/latex]
A: [$$]\forall(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega),P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)[/$$]

Q: [latex]Covariance de $(X,Y)$[/latex]
A: [$$]\cov(X,Y)=\E(XY)-\E(X)\E(Y)[/$$]

Q: [$$]\V\left(\sum_{k=1}^nX_k\right)=[/$$]
A: [$$]\V\left(\sum_{k=1}^nX_k\right)=\sum_{k=1}^n\V(X_k)+2\sum_{1\le i<j\le n}\cov(X_i,X_j)[/$$]

Q: [latex]In\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz (probabilit\'e)[/latex]
A: [$$]\E(XY)^2\le\E(X^2)\E(Y^2)[/$$]

Q: [latex]Adh\'erence de $A\subset E$[/latex]
A: [$$]\bar A=\{x\in E,\forall r>0,B(x,r)\cap A\not=\varnothing\}[/$$]

Q: [latex]$A\subset E$ ferm\'e de $E\Leftrightarrow$[/latex]
A: [$$]\Leftrightarrow A=\bar A$$$$(\Leftrightarrow E\backslash A\text{ est ouvert})[/$$]

Q: [latex]$A\subset E$ convexe $\Leftrightarrow$[/latex]
A: [$$]\forall(x,y)\in A^2,\forall t\in[0,1],tx+(1-t)y\in A[/$$]

Q: [latex]Caract\'erisation s\'equentielle d'un point adh\'erent[/latex]
A: [$$]x\in\bar A\Leftrightarrow\exists(x_n)\in A^\N,x_n\to x[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket1,n\rrbracket)\Rightarrow X(\Omega)=[/$$]
A: [$$]X(\Omega)=\llbracket1,n\rrbracket[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket1,n\rrbracket)\Rightarrow\forall k\in X(\Omega),P(X=k)=[/$$]
A: [$$]\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket,P(X=k)=\frac{1}{n}[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket1,n\rrbracket)\Rightarrow\E(X)=[/$$]
A: [$$]\E(X)=\frac{n+1}{2}[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket1,n\rrbracket)\Rightarrow\V(X)=[/$$]
A: [$$]\V(X)=\frac{n^2-1}{12}[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{G}(p)\Rightarrow X(\Omega)=[/$$]
A: [$$]X(\Omega)=\N^*[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{G}(p)\Rightarrow\forall k\in X(\Omega),P(X=k)=[/$$]
A: [$$]\forall k\in\N^*,P(X=k)=p(1-p)^{k-1}[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{G}(p)\Rightarrow\E(X)=[/$$]
A: [$$]\E(X)=\frac{1}{p}[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{G}(p)\Rightarrow\V(X)=[/$$]
A: [$$]\V(X)=\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p}[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda)\Rightarrow X(\Omega)=[/$$]
A: [$$]X(\Omega)=\N[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda)\Rightarrow\forall k\in X(\Omega),P(X=k)=[/$$]
A: [$$]\forall k\in\N,P(X=k)=e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^k}{k!}[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda)\Rightarrow\E(X)=[/$$]
A: [$$]\E(X)=\lambda[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda)\Rightarrow\V(X)=[/$$]
A: [$$]\V(X)=\lambda[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{B}(p)\Rightarrow X(\Omega)=[/$$]
A: [$$]X(\Omega)=\{0,1\}[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{B}(p)\Rightarrow\forall k\in X(\Omega),P(X=k)=[/$$]
A: [$$]\begin{aligned}
&P(X=1)=p\\
&P(X=0)=1-p
\end{aligned}[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{B}(p)\Rightarrow\E(X)=[/$$]
A: [$$]\E(X)=p[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{B}(p)\Rightarrow\V(X)=[/$$]
A: [$$]\V(X)=p(1-p)[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)\Rightarrow X(\Omega)=[/$$]
A: [$$]X(\Omega)=\llbracket0,n\rrbracket[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)\Rightarrow\forall k\in X(\Omega),P(X=k)=[/$$]
A: [$$]\forall k\in\llbracket0,n\rrbracket,P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)\Rightarrow\E(X)=[/$$]
A: [$$]\E(X)=np[/$$]

Q: [$$]X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)\Rightarrow\V(X)=[/$$]
A: [$$]\V(X)=np(1-p)[/$$]

Q: [latex]Similitudes du plan[/latex]
A: [latex]Similitudes directes : conservent l'orientation des angles
\begin{equation*}\begin{gathered}
\text{Similitude de centre }\Omega\text{, angle }\theta\text{, rapport }\lambda\text{ :}\\
\phi(z_A)=\lambda e^{i\theta}z_A+z_\Omega(1-\lambda e^{i\theta})
\end{gathered}\end{equation*}
Similitudes indirectes : inversent l'orientation des angles[/latex]

Q: [latex]Rotation de centre $P$ et d'angle $\theta$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}\phi(z_A)=e^{i\theta}z_A+z_P(1-e^{i\theta})\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Homothétie de centre $P$ et de rapport $\lambda$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}\phi(z_A)=\lambda z_A+z_P(1-\lambda)\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Symétrie centrale de centre $P$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}\phi(z_A)=2z_P-z_A\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Formule comité-président[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}(n+1)\binom nk=(k+1)\binom{n+1}{k+1}\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Équation différentielle linéaire du 1er ordre[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}y^\prime(x)=a(x)\cdot y(x)+b(x)\end{equation*}
\begin{equation*}\begin{gathered}
\text{Solutions homogènes :}\\
f_H\colon x\mapsto\lambda e^{A(x)}\text{ avec }\lambda\text{ constante et }A\text{ primitive de }a
\end{gathered}\end{equation*}
\begin{equation*}\begin{gathered}
\text{Solution particulière (variation de la constante) :}\\
\lambda\colon x\mapsto\int_0^x b(t)\cdot e^{-A(t)}\dif t\\
f_P\colon x\mapsto\lambda(x)\cdot e^{A(x)}
\end{gathered}\end{equation*}
[/latex]

Q: [latex]Algorithme d'Euclide (PGCD)[/latex]
A: [latex]\begin{align*}
&a_0=a\text{ et }b_0=b\\
&\text{Tant que }b_n\ne0\text{ :}\\
&\bullet\text{Division euclidienne : }a_n = b_n\cdot q_n+r_n\\
&\bullet a_{n+1} = b_n\text{ et }b_{n+1} = r_n\\
&\text{On renvoie }a_n\end{align*}[/latex]

Q: [latex]Résolution de $ax+by=c$ (identité de Bézout)[/latex]
A: [latex]\begin{align*}
&\text{Soit }d=a\wedge b\\
&\text{Si }d\nmid c\text{, alors il n'y a pas de solution.}\\
&\text{Sinon, on trouve un couple de Bézout }(u,v)\text{ tel que }au+bv=d\\
&x_0=u\frac cd\text{ et }y_0=v\frac cd\text{ sont solutions particulières}\\
&\text{Les solutions sont alors ($k\in\Z$) : }\left\{\begin{array}{@{}l@{}}x=x_0+k\frac bd\\y=y_0-k\frac ad\end{array}\right.\,\end{align*}[/latex]

Q: [latex]Théorème de Gauss[/latex]
A: [latex]Si $a\mid bc$ et $a\wedge b=1$, alors $a\mid c$.[/latex]

Q: [latex]Lemme d'Euclide[/latex]
A: [latex]Si $p$ est premier et $p\mid ab$, alors $p\mid a$ ou $p\mid b$.[/latex]

Q: [latex]Théorème chinois des restes[/latex]
A: [latex]Soient $n,m\in\Z$ tels que $n\wedge m=1$.
\begin{tabular}{ccccc}
$\phi$&$\colon$&$\Z/_{mn\Z}$&$\to$&$\Z/_{m\Z}\times\Z/_{n\Z}$\\
&&$x [mn]$&$\mapsto$&$\begin{pmatrix}x [m]\\x [n]\end{pmatrix}$\end{tabular}
est un isomorphisme.[/latex]

Q: [latex]Petit théorème de Fermat[/latex]
A: [latex]Soient $p$ un premier, et $a\in\Z$ non multiple de $p$.
\begin{equation*}a^{p-1}\equiv1[p]\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Calcul de l'indicatrice d'Euler[/latex]
A: [latex]Soit $n=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}$, où $\forall i\in\llbracket1,k\rrbracket\quad\alpha_i\ge1$.
\begin{align*}\Phi(n)&=\prod_{i=1}^k\left(p_i^{\alpha_i}-p_i^{\alpha_i-1}\right)\\
&=n\cdot\prod_{i=1}^k\left(1-\frac1{p_i}\right)\end{align*}[/latex]

Q: [latex]Petit théorème de Fermat généralisé[/latex]
A: [latex]Soient $a,n\in\Z$ premiers entre eux.
\begin{equation*}
a^{\Phi(n)}\equiv1[n]\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Approximations décimales[/latex]
A: [latex]\begin{itemize}
\item Par défaut : $\frac{\lfloor10^n\cdot x\rfloor}{10^n}$
\item Par excès : $\frac{\lceil10^n\cdot x\rceil}{10^n}$
\end{itemize}[/latex]

Q: [latex]Primitive de $t\mapsto\frac1{a(t-r)^2}$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}t\mapsto-\frac1a\cdot\frac1{t-r}\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Inégalité de Jensen (convexité)[/latex]
A: [latex]Soient $\phi\colon[a,b]\to\R$ convexe et $u\in\mathcal C^{\text{pm}}([a,b])$.
\begin{equation*}
\phi\left(\frac1{b-a}\int_a^bu(t)\dif t\right)\le\frac1{b-a}\int_a^b\phi(u(t))\dif t
\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Méthode de Newton pour résoudre $f(x)=0$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Inversion d'une matrice carrée d'ordre 2[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\Rightarrow A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Caractérisation des matrices inversibles[/latex]
A: [latex]\begin{itemize}
\item $A\overset L\sim I_n$
\item $AX=0$ admet la seule solution $X=0$
\item Pour tout $B\in\R^n$, $AX=B$ admet au moins une solution
\item Pour tout $B\in\R^n$, $AX=B$ admet au plus une solution
\item $\rg A=n$
\end{itemize}[/latex]

Q: [latex]Développement d'un polynôme scindé[/latex]
A: [latex]\begin{align*}P(X)&=\lambda\prod_{k=1}^n(X-\alpha_k)\\
&=\lambda\left(X^n+\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma_{n-k}X^{k-1}\right)\end{align*}[/latex]

Q: [latex]Polynômes de Tchebychev[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}\begin{gathered}
\forall\theta\in\R\quad T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)\\
T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X)\\
T_0(X)=1, T_1(X)=X\\
T_n(X)=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\left(X-\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)
\end{gathered}\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Dérivée logarithmique d'un polynôme scindé[/latex]
A: [latex]Soit $P(X)=\lambda\prod\limits_{k=1}^n(X-\alpha_k)$.
\begin{equation*}\frac{P^\prime(X)}{P(X)}=\sum_{k=1}^n\frac1{X-\alpha_k}\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Projecteurs[/latex]
A: [latex]\begin{itemize}
\item $p\in\mathcal L(E)$
\item $\ker p\oplus\im p=E$
\item $p^2=p$
\item Projecteur "inverse" : $q=\text{id}_E-p$
\item Symétrie associée : $p-q=2p-\text{id}_E=\text{id}_E-2q$
\end{itemize}[/latex]

Q: [latex]Symétries[/latex]
A: [latex]\begin{itemize}
\item $s\in\mathcal L(E)$
\item $\ker(s-\text{id}_E)\oplus\ker(s+\text{id}_E)=E$
\item $s^2=\text{id}_E$
\item Projecteur associé : $\frac12(s+\text{id}_E)$
\end{itemize}[/latex]

Q: [latex]Caractère libre/générateur d'une famille infinie[/latex]
A: [latex]Une famille infinie est :\begin{itemize}
\item libre ssi toute sous-famille finie est libre
\item génératrice ssi il y a une sous-famille finie génératrice
\end{itemize}[/latex]

Q: [latex]Lemme de va-et-vient[/latex]
A: [latex]Soient $E$ de dim. finie, $(x_1,\dots,x_n)$ génératrice et $(y_1,\dots,y_p)$ libre.
Il existe un $(n-p)$-uplet d'indices : $1\le i_1<\dots<i_{n-p}\le n$\\
tel que $(y_1,\dots,y_p,x_{i_1},\dots,x_{i_{n-p}})$ est génératrice.[/latex]

Q: [latex]Si $\rg A=r$, alors $A$ a...[/latex]
A: [latex]...une sous-matrice carrée inversible d'ordre $r$.[/latex]

Q: [latex]Théorème de la limite de la dérivée[/latex]
A: [latex]\flushleft Si :\begin{itemize}
\item $f$ est $\mathcal C^0$ sur $[a,b]$
\item $f$ est $\mathcal C^1$ sur $[a,b[$
\item $\lim\limits_{x\to b}f^\prime(x)=\ell\in\R$
\end{itemize}
Alors : $f$ est $\mathcal C^1$ sur $[a,b]$ et $f^\prime(b)=\ell$[/latex]

Q: [latex]Crible de Poincaré (probas)[/latex]
A: [$$]\P\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\sum_{1\le i_1<\dots<i_k\le n}\P\left(\bigcap_{j=1}^kA_{i_j}\right)[/$$]

Q: [latex]Lemme des pentes[/latex]
A: [latex]$f\colon I\to\R$ est convexe ssi\begin{equation*}\begin{gathered}
\forall u,v,w\in I\quad u<v<w\\\frac{f(v)-f(u)}{v-u}\le\frac{f(w)-f(u)}{w-u}\le\frac{f(w)-f(v)}{w-v}
\end{gathered}\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]Continuité (dé)croissante (probas)[/latex]
A: [latex]\flushleft $(A_n)$ famille d'événements
\begin{itemize}
\item croissante pour l'inclusion : $\P(\bigcup A_n)=\lim\P(A_n)$
\item décroissante pour l'inclusion : $\P(\bigcap A_n)=\lim\P(A_n)$
\end{itemize}[/latex]